投射模。设 是 -模，对于任意满同态 和同态 ，总有同态 使得下图交换.

如果对任意单同态 和同态 ，总有同态 使得下图交换，称 为内射模。

对于 ，如果 的非零子模与 相交，称 为 的本性扩模。

引理， 是内射模当且仅当 没有非平凡本性扩模。

内射包是内射的本性扩模，意即最小的内射扩模。内射包在同构意义下唯一存在。

投射盖。设 是投射模， 是满同态，如果对于任意投射模 与满同态 ，使得 的 总是满同态，那么称 是 的投射盖。

投射盖在同构范围内唯一。但是投射盖并不总存在。

自反模与半自反模。对于左 -模， 是右 -模，记为 .当 时，称为自反模，当 称为半自反模，或缺扰模。

对于 ，以下的 分别叫作推出与拉回：

或者，以下的定义等价：

复形与微分。对于 ，如果 ，称链为复形， 为微分。称 为其同调。

同调正合列定理。设 分别是复形，并且有正合列 使得如下图交换：

此时有 使得如下列正合：

的一个投射分解是一个由投射模构成的正合列： .

箭头方向相反，将投射模改为内射模时，叫作内射分解。

核与上核。设 . 对于任意 ， 与 使下图交换。

核的对偶概念是上核。

设 是 -模， 是共变加法函子。取 的投射分解为 ，那么对其进行 的变换可得 ，记 . 这个定义不依据 的选取而改变，因此 是 的共变函子。

将投射分解改为内射分解，得到的是 .

设 是自由模，生成元为 ，那么对于任意 与 ，只需要选取一组使得 使得 ，并定义 即可得到 ，因此自由模总是投射模。

对于任意的模 ，自然有自由模 使得 . 这给出了正合列 . 记 ，重复这样的操作，就得到了： 此时，考虑它们的复合 经过化简，得到正合列 这说明任意模总有投射分解。

反之，任意模总可以嵌入某个内射模。首先注意到 模都是 内射模。假定 是 模， 而 . 假设有 是 的扩张，任取 ，如果 ，则规定 ，否则规定 . 这样，根据佐恩引理，就得到了 . 对于一般的 ，有嵌入 ，具体地说， . 已经知道 是 内射模，只需要证明 是 内射模。设有 和 . 对于每个 ， ，而 ，因此根据内射模的性质存在 . 对于每个 ，定义 ，那么 ，并且 扩张了 .

如果 是正合列而 是内射模，类似地，考虑： 由此得到内射分解 .

设 是right -module chain complex，它们之间的morphism 是一族 -module homormopshim，使得下图交换。

蛇引理：设有如下的交换图，且每行exact，那么有 的同态，并且 exact.

此外，当 是单射时， 也是单射；当 是满射时， 也是满射。

设 ，由于 是满射，所以存在 使得 ，因此 ，因为 ，因此存在 使得 ，令 . 换言之， .

验证定义的良好性：假设 ，那么存在 使得 ，因而 ，这说明 .

五引理：设有如下的交换图，其中两行分别正合：

当 单射 满射时， 单射；当 满射 单射时， 满射；因此， 是同构时， 也是同构。

任取 ，那么 ，因此 ，记 ，此时 ，因此 ，记 . 因为 是单射，所以 ，而 .

反之类似。

对于chain complex ，记 ， ， ， . 考虑下图。

由于图的中间两行是正合的，所以根据蛇引理，每一行都正合且交换。

再注意到，对于 ， ，因此 ，从而 给出了 的同态，并且下图正合交换：

每一列的kernel是 ，而coker是 .因此，得到了正合列 .

对于线性空间范畴，chain complex可以视作 ，此时 可以视作映射 ，如果记 ，那么 将 映射为 ，这说明 .

设有 ，此时定义 则 是 的态射。此时， ，因此 是chain complex的态射。

对于 ，如果存在上述 使得 ，那么称 null homotopic，一个chain complex是split exact的当且仅当它的id映射null homotopic.

对于 ，如果 null homotopic，称对应的 是 与 的chain homotopy.

引理，设 null homotopic，则 是零态射。

设 是chain complex map，定义mapping cone是 ，mapping cylinder是 ，它们的微分映射分别是 和 .

设 是拓扑空间， 是它的所有开集构成的偏序集（大→小）， 是阿贝尔范畴，由 到 的函子 如果满足 则称为一个presheaf. 进一步地，设 是开集 的开覆盖， 是一族元素，再设对于任意 ， 与 经由态射 和 变换的结果相同，此时如果总有唯一的 使得它在态射 变换下恰等于 ，那么称这个presheaf是sheaf.

sheaf的一个例子是这样的： ，后者有交换群结构所以是阿贝尔范畴，而 是函数的限制。假如 覆盖了 ，对于每一个 ，取 并定义 ，那么定义是良好的并且 在 处连续。 的唯一性显然。