时间反演对称性(1)：“一个哈密顿量，究竟有没有TRS的？”

发布时间: 2021-11-19 11:33:27 来源: 励志妙语作者: O空O扬O 栏目: 经典文章点击: 114

时间反演对称性在TI学习里太common了以至于经常出现下述情况：第一页：什么嘛，很trivial的TRS结论，好耶！第二页：这...

时间反演对称性在TI学习里太common了以至于经常出现下述情况：

第一页：什么嘛，很trivial的TRS结论，好耶！第二页：这个结论哪来的？？？这个degeneracy哪来的？？？所以有啥用？？？（回到第一页，重复上述操作3-5次）

鲁迅的名篇《祥林嫂》一文中的祥林嫂也有这样的疑问

“一个哈密顿量写出来之后，究竟有没有TRS的？”

兴许有罢，于是开始学～

无自旋粒子的TRS

TR就是

t rightarrow -t

但正如一个人有自己的xp系统，系统更有自己的xp（指坐标、动量算符）

经典力学：

x的TR还是x，位置不变p的TR是-p，因为速度反向

量子力学：

$That{x}T^{-1} = hat{x}$ $That{p}T^{-1} = - hat{p}$

还不够，想要具体的TR operator的表述：

$T [hat{x}, hat{p}] T^{-1} = T ihbar T^{-1} = [hat{x}, -hat{p}] = - ihbar$

$TiT^{-1} = -i$

那T肯定和共轭算符成正比

T propto K

更一般的加一个unitary operator

T = UK

TR两次回到原态，最多差一个相位因子 phi

$T^2 = UKUK = UU^* = U(U^T)^{-1} = phi$

可以推出

U = phi U phi

从而 T^2 可取值有

T^2 = pm 1

对于无自旋的粒子，有 T^2=1 ，很合理，反转两次就回来了。（ T^2=-1 也是有的，之后会看到）

来点哈密顿量

常碰到的哈密顿量主要是lattice的二次量子化形式的，有时候还会碰到动量空间的产生湮灭算符（Bloch Hamiltonian）。

site上的产生湮灭算符TR之后是不变的:

$c_j = Tc_jT^{-1}$

动量空间如何？

$c_j = frac{1}{sqrt{N}} sum_k e^{ikR_j} c_k = frac{1}{sqrt{N}} sum_k e^{-ikR_j} c_{-k}$

$c_j = T c_j T^{-1} = frac{1}{sqrt{N}} sum_k T (e^{ikR_j} c_k)T^{-1} = frac{1}{sqrt{N}} sum_k e^{- ikR_j} T c_kT^{-1}$

比较就得到

$T c_kT^{-1} = c_{-k}$

也很合理，把晶格动量k反向了。

Bloch Hamiltonian呢？Hamiltonian有了TRS会咋样？

$THT^{-1} = sum_k c_{-k}^dagger Th(k)T^{-1} c_{-k}$

$H = sum_k c_{k}^dagger h(k) c_{k}$

如果有TRS，则 [T,H]=0

$H = THT^{-1} Rightarrow Th(k)T^{-1} = h(-k)$

即 |psi(k)rang 是动量为k的本征态，那 T|psi(k)rang 就是动量为-k的本征态。

在time-reversal invariant momentum points处的degeneracy

对于spinless系统，

lang psi(0)|T psi(0) rang = sum_m psi_m(0)^* psi_m(0)^* neq 0

一般不简并，否则正交从而是0

对于T-invariant Spinless Fermion还有Hall conductance为零的结论，具体而言是k与-k处的Berry Curvature balance out，BZ上积分就是0。具体Hall conductance如何和Berry curvature在BZ上的积分相关，之后有时间写写。

来点自旋

姑且把spin的TR看成角动量的TR

$T S T^{-1} = -S$

用生成元表示成绕 S_y 转过，则为

$T = e^{- i pi S_y}K$

我们更关心spin-1/2

$e^{- i pi sigma_y} = -isigma_y Rightarrow T = - i sigma_y K$

这时就有之前说的 T^2 = -1 的结果了，事实上整数自旋是，半整数是，结果看着挺合理。

来点crystal electron

加上spin-1/2就有点豁然开朗了（指可以处理crystal electron）。

给哈密顿量加上spin label以及标记轨道能级的orbital indices：

$H = sum_k c_{kasigma}^dagger h_{a,b}^{sigma, sigma'}(k) c_{kbsigma'}$

此时有relative sign的问题，我们需要证明：

$T c_{jauparrow} T^{-1} = c_{j a downarrow} qquad T c_{jadownarrow} T^{-1} = - c_{jauparrow}$

这将推出 $T^2c_{jauparrow}T^{-2}=- c_{jauparrow}$

这与 T^2=-1 矛盾。

原因在于作用的粒子态的粒子数不同，前一个 T^2 比后一个 $T^{-2}$ 作用的态多一个电子，因为中间夹了一个湮灭算符。

从头推一遍，来点最基本的假设：

$Tc_{uparrow}T^{-1} = Ac_{downarrow} qquad Tc_{downarrow}T^{-1} = B c_{uparrow}$

其中 A,B = pm 1

T c_uparrow c_uparrow^dagger | 0 rang = T |0rang = |0rang^*

$(T c_uparrow) c_uparrow^dagger | 0 rang = A c_downarrow T c_uparrow^dagger |0rang = A T^{-1} T c_downarrow T c_uparrow |0rang = ABT^{-1}c_uparrow T^2 c_uparrow^dagger | 0 rang = -AB T^{-1} |0rang = -AB|0rang ^*$

一番推导得到了 AB = -1 ，而具体取 A=1,,B=-1 就是gauge convention了。那么在考虑多电子态时，我们把crystal lattice的TR进一步改写：

$T c_{jasigma} T^{-1} = i (sigma^y)_{sigma sigma'} c_{j a sigma'}$

$T c_{jasigma}^dagger T^{-1} = c_{j a sigma'}^dagger i (sigma^y)^T_{sigma sigma'}$

以上都是site态的产生湮灭算符。

预告

之后将引入动量空间的产生湮灭算符的TR。最终我们将用于crystal electron的Bloch Hamiltonian的TRS分析，并尝试解释常挂耳边的Kramers' Theorem。敬请期待（催更）～

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