托雷斯《动态宏观经济一般均衡模型入门》笔记（5）——投资专有技术变化

发布时间: 2021-11-12 08:41:31 来源: 励志妙语作者: 理工科的MBA 栏目: 读后感点击: 118

投资专有技术变化引入投资专有技术变化的居民效用最大化居民的效用函数引入投资专有技术变化的居民效用最大化式中，假设，由资本积累方程...

投资专有技术变化

引入投资专有技术变化的居民效用最大化

居民的效用函数

$U(C_t,O_t)=gammalog C_{t}+(1-gamma)log(1-L_{t})$

引入投资专有技术变化的居民效用最大化

$begin{align} max_{(C_{t},I_{t},L_{t})} & quad sum_{t=0}^inftybeta^tleft[gammalog C_{t}+(1-gamma)log(1-L_{t})right] s.t. & quad C_{t}+S_{t}=W_tL_{t}+R_tK_{t} end{align}$

式中，假设 $S_{t}=I_{t}$ ， I_t 由资本积累方程得到

$K_{t+1}=(1-delta)K_t+Z_tI_t$

式中， Z_t 确定了一个单位产出可购买的资本数量，代表了当前生产性资本的技术状态，这样，投资可定义为

$I_t=frac{K_{t+1}-(1-delta)K_t}{Z_t}$

构建引投资专有技术变化的居民效用最大化问题的拉格朗日函数

$mathcal{L}=sum_{t=0}^inftybeta^t left{ begin{align} &gammalog C_{t}+(1-gamma)log(1-L_{t}) &-lambda_tleft[C_{t}+frac{K_{t+1}}{Z_t}-W_tL_{t}-R_tK_t-frac{(1-delta) K_{t}}{Z_t}right] end{align} right}$

一阶条件为

$begin{align} & frac{partial mathcal{L}}{partial C_t}=frac{gamma}{C_t}-lambda_t=0 & frac{partial mathcal{L}}{partial L_t}=-(1-gamma)frac{1}{1-L_t}+lambda_tW_t=0 & frac{partial mathcal{L}}{partial K_t}=beta^tlambda_tfrac{Z_{t-1}}{Z_t}left(Z_tR_t+1-deltaright)-beta^{t-1}lambda_{t-1}=0 end{align}$

厂商利润最大化

厂商生产函数

$Y_t=A_tK_t^alpha L_t^{1-alpha}$

式中， A_t 是全要素或部门中性的生产率， 0leq alpha leq 1 。则厂商利润最大化问题为

$maxPi_t= A_tK_t^alpha L_t^{1-alpha}-W_tL_t-R_tK_t$

一阶条件为

$begin{align} frac{partialPi_t}{partial K}:& alpha A_tK_t^{alpha-1}L_t^{1-alpha}-R_t=0 frac{partialPi_t}{partial L}:& (1-alpha)A_tK_t^alpha L_t^{-alpha}-W_t=0 end{align}$

整理，得生产投入的价格

$begin{align} R_t&=alpha A_tK_t^{alpha-1}L_t^{1-alpha} W_t&=(1-alpha)A_tK_t^alpha L_t^{-alpha} end{align}$

模型方程及参数校准

模型经济的竞争性均衡由刻画内生宏观经济变量 Y_t,C_t,I_t,K_t,L_t,R_t,W_t 和全要素生产率 A_t 以及专有技术 Z_t 等方程来给出。模型方程为

$begin{align} & (1-gamma)frac{1}{1-L_t}=gammafrac{1}{C_t}W_t & frac{1}{beta}frac{C_t}{C_{t-1}}=frac{Z_{t-1}}{Z_t}left[Z_talphafrac{Y_t}{K_t}+1-deltaright] & Y_t=C_t+I_t & Y_t=A_tK_t^alpha L_t^{1-alpha} & K_{t+1}=(1-delta)K_t+Z_tI_t & W_t=(1-alpha)A_tK_t^alpha L_t^{-alpha} & R_t=alpha A_tK_t^{alpha-1}L_t^{1-alpha} & ln A_t=(1-rho_A)lnoverline{A}+rho_Aln A_{t-1}+epsilon_t & ln Z_t=(1-rho_Z)lnoverline{Z}+rho_Zln Z_{t-1}+epsilon_Z end{align}$

模型参数集合

$Omega={alpha,beta,delta,gamma,rho_A,sigma_A,rho_Z,sigma_Z}$

其中， alpha ：资本生产率的技术参数，典型值 alpha=0.35 ； beta ：经济主体对未来效用相对于现在效用的评价，典型值 beta=0.97 ; delta ：资本存量的实际折旧率，典型值 delta=0.06 ； gamma ：个体对消费-闲暇决策的偏好，典型值 gamma=0.40 ; rho_A ：全要素生产率冲击过程中的自回归参数，典型值 rho_A=0.95 ； sigma_A ：全要素生产率服从的随机过程中的误差项的标准差，典型值 sigma_A=0.01 ; rho_Z ：投资专有技术冲击过程中的自回归阐述，典型值 rho_Z=0.95 ； sigma_Z ：投资专有技术服从的随机过程中的误差项的标准差，典型值;

数值计算

import metakernel; metakernel.register_ipython_magics()%kernel matlab_kernel.kernel MatlabKernel%%writefile model6.modvar Y, C, I, K, L, W, R, A, Z;varexo e, u;parameters alpha, beta, delta, gamma, rho1, rho2;alpha = 0.35;beta = 0.97;delta = 0.06;gamma = 0.40;rho1 = 0.95;rho2 = 0.95;model;C = (gamma / (1 - gamma)) * (1 - L) * (1 - alpha) * Y / L;1 = beta * (Z * C / (Z(+1) * C(+1))) * (Z * alpha * Y(+1) / K + (1 - delta));Y = A * (K(-1) ^ alpha) * (L ^ (1 - alpha));K = Z * I + (1 - delta) * K(-1);I = Y - C;W = (1 - alpha) * A * (K(-1) ^ alpha) * (L ^ (-alpha));R = alpha * A * (K(-1) ^ (alpha - 1)) * (L ^ (1-alpha));log(A) = rho1 * log(A(-1)) + e;log(Z) = rho2 * log(Z(-1)) + u;end;initval;Y = 1; C = 0.8; L = 0.3; K = 3.5;I = 0.2;W = (1 - alpha) * Y / L;R = alpha * Y / K;A = 1;Z = 1;e = 0;u = 0;end;steady;check;shocks;var e; stderr 0.01;var u; stderr 0.01;end;stoch_simul;Writing model6.mod%%kxdynare model6.mod