【知识仓库】卡诺循环

发布时间: 2022-05-25 12:30:14 来源: 励志妙语作者: 爱XR的麦子栏目: 经典文章点击: 94

萨迪·卡诺(SadiCarnot)在1824年设计了一个假想中的理想热机，在基于可逆过程的条件下做到了之间效率最高的变...

【知识仓库】卡诺循环

萨迪·卡诺 (Sadi Carnot) 在1824年设计了一个假想中的理想热机，在基于可逆过程的条件下做到了 T_H, T_C 之间效率最高的变换。

回忆一下热平衡和可逆过程

因为要保证可逆，

如果有热量流动，不能有温度变化（否则就不在热平衡了）

如果有温度变化，就不能有热量流动（上面那条反过来）

我们这里用另一种方式备注一下可逆过程：

可逆过程会保持热平衡不变以及不改变熵值

关于这句话的理解我们会慢慢体会到。这里我们只用理解通过上面两条，我们的卡诺循环 (The Carnot Cycle) 必须是由恒温和绝热过程组成的。

1 -> 2 是恒温膨胀，温度 T_H

不变，从高温热库吸收热量 Q_H

2 -> 3 是绝热膨胀，不吸收热量，温度降到 T_C

3 -> 4 是恒温收缩，温度 T_C

不变，向低温热库释放热量 Q_C

4 -> 1 是绝热收缩，不释放热量，温度上升至 T_H

（回到起始物态）

从压力-体积图的图像中，我们能看出来总做功是循环包围的面积。

通过考虑理想气体，我们还可以将值量化地算出来。

恒温膨胀

物态从 p_1, V_1, T_H 到 p_2, V_2, T_H 。

做功： $W_{1 rightarrow 2} = int_{V_1}^{V_2} p dV = nRT_H int_{V_1}^{V_2} frac{dV}{V} = nRT_H lnleft(frac{V_2}{V_1}right)$

内能： $Delta U_{1 rightarrow 2} = 0$

热量： $Q_H = Q_{1 rightarrow 2} = W_{1 rightarrow 2} = nRT_H ln left(frac{V_2}{V_1}right)$

绝热膨胀

物态从 p_2, V_2, T_H 到 p_3, V_3, T_C 。

做功： $W_{2 rightarrow 3} = - frac{nR}{gamma -1} (T_C - T_H)$

热量： $Q_{2 rightarrow 3} = 0$

内能： $Delta U_{2 rightarrow 3} = -W_{2 rightarrow 3} = frac{nR}{gamma -1} (T_C - T_H) = n C_V (T_C - T_H)$

恒温收缩

物态从 p_3, V_3, T_C 到 p_4, V_4, T_C 。

做功： $W_{3 rightarrow 4} = int_{V_3}^{V_4} p dV = nRT_C int_{V_3}^{V_4} frac{dV}{V} = nRT_C lnleft(frac{V_4}{V_3}right)$

内能： $Delta U_{3 rightarrow 4} = 0$

热量： $Q_C = Q_{3 rightarrow 4} = W_{3 rightarrow 4} = nRT_C ln left(frac{V_4}{V_3}right)$

绝热收缩

物态从 p_4, V_4, T_C 到 p_1, V_1, T_H 。

做功： $W_{4 rightarrow 1} = - frac{nR}{gamma -1} (T_H - T_C)$

热量： $Q_{4 rightarrow 1} = 0$

内能： $Delta U_{4 rightarrow 1} = -W_{4 rightarrow 1} = frac{nR}{gamma -1} (T_H - T_C) = n C_V (T_H - T_C)$

将所有内能变化加起来

$Delta U = Delta U _{1 rightarrow 2} + Delta U _{2 rightarrow 3} + Delta U _{3 rightarrow 4} + Delta U _{4 rightarrow 1} = 0$

而总的做功也就等于总的热量。

通过两段绝热过程，我们可以得到一个有用的关系式

$T_H V_2^{gamma -1} = T_C V_3^{gamma -1} T_H V_1^{gamma -1} = T_C V_4^{gamma -1} Rightarrow frac{V_2}{V_1} = frac{V_3}{V_4} Rightarrow V_1 V_3 = V_2V_4$

有了它我们就可以得到做功的值了，先算下热量值

$Q_{net} = Q_H + Q_C = nRT_H ln left(frac{V_2}{V_1}right) + nRT_C ln left(frac{V_4}{V_3}right) = nR(T_H - T_C) ln left(frac{V_2}{V_1}right)$

而做功为

$W_{net} = W_{1 rightarrow 2} + W_{2 rightarrow 3} + W_{3 rightarrow 4} + W_{4 rightarrow 1}$

我们也知道

$W_{2 rightarrow 3} = - W_{4 rightarrow 1} W_{1 rightarrow 2} = Q_H W_{3 rightarrow 4} = Q_C Rightarrow W_{net} = nR(T_H - T_C) ln left(frac{V_2}{V_1}right)$

卡诺引擎的效率

谈论卡诺引擎的效率前，我们先来给效率一个定义

$varepsilon = frac{W_{net}}{Q_H}$

而对于我们之前说的卡诺循环而言

$W_{net} = Q_{net} = Q_H + Q_C = |Q_H| - |Q_C|$

$Rightarrow varepsilon = frac{ |Q_H| - |Q_C|}{|Q_H|} = 1 - left|frac{Q_C}{Q_H}right|$

而上面我们也对热量做过计算，代进来就好

$Rightarrow varepsilon = 1 - left|frac{Q_C}{Q_H}right| =1 - left|frac{nRT_C ln left(frac{V_4}{V_3}right) }{nRT_H ln left(frac{V_2}{V_1}right)}right|$

再次利用 $frac{V_2}{V_1} = frac{V_3}{V_4}$

$Rightarrow varepsilon = 1 -frac{T_C}{T_H}$

由此看来，对于卡诺引擎而言，其效率只取决于两个热库之间的温差。

我们也能从中看出当 T_C rightarrow 0 时， varepsilon rightarrow 1 。但是是一件不可能的事，这是热力学第三定律，下一篇会着重讲一讲。

卡诺循环在现实中生活中并不存在，最接近于卡诺循环的生活案例就是飓风现象了。我们之后会看到在两个温度之间，卡诺循环是效率最高的引擎系统了。一切人造系统的效率都将小于卡诺循环的效率。

开尔文温度温标 (Kelvin Thermodynamic Temperature Scale)

我们在之前就介绍了开尔文温标以及它与理想气体公式的关联。这里是另一个视角。当我们考虑卡诺引擎在两个温度之间传递热量时，我们需要测量相对于一个参考温度， T_r ，的温度，，这时，

$frac{T}{T_r} = - frac{Q}{Q_r}$

可以看出，这是一个线性的等比例关系，而且只需要一个参照点。（可以对比一下摄氏度来理解）

$T = frac{100 (X - X_{冰})}{X_{蒸汽} - X_{冰}} space^circ C$

而卡尔文温标则是

$T= - frac{Q}{Q_r} T_r K$

卡诺制冷机 (The Carnot Refrigerator)

循环有一个有趣的做法。上面提到的卡诺引擎的卡诺循环 ( 1 rightarrow 2 rightarrow 3 rightarrow 4 rightarrow 1 ) 是从外界吸热，气体做功。而如果整个循环反过来跑 ( 1 rightarrow 4 rightarrow 3 rightarrow 2 rightarrow 1 ) 则就是外界做功，气体吸热了。这样我们就可以从一个温度低的热库（也就是我们的制冷机部分）吸取热量给到温度高的热库。

通过之前对热力第二定律的了解，想必你也知道，这个过程是必须做功的。

这里我们仿造效率再定义一个值，即制冷机的表现系数 (Coefficient of Performance)

$k = frac{|Q_C|}{|Q_H| - |Q_C|} = frac{T_C}{T_H - T_C}$

这个反过来的卡诺循环，如果我们考虑温度低的热库所得到的就是制冷机。反过来，如果我们考虑的是温度高的热库，我们就得到了一个热泵 (Heat Pump)。我们同样可以得到热泵的表现系数

$k = frac{|Q_H|}{|Q_H| - |Q_C|} = frac{T_H}{T_H - T_C}$

以上的所有讨论都是建立在理想上的可逆过程，那么真实的引擎与我们理想的情况到底差多远？

真实的引擎

不可能消除摩擦

所处理的物质不可能是理想气体

过程不可逆

也不可能是一个封闭系统

那么学习卡诺循环的意义只在于一个理想上限吗？其实也不止于此，任何可逆过程都可以被看作很多个卡诺循环组成，而具体数量不限。（之后会看一些其他引擎，例如奥托循环）

卡诺定理 (Carnot's Theorem)

所谓的卡诺定理就是我们之前看到的一个称述

在两个温度之间，卡诺循环是效率最高的引擎系统了

为了证明这个定理，我们可以使用反证法 (Proof By Contradiction)

先假设有一个不可逆的引擎，但是有高于卡诺引擎的效率。将这个引擎与卡诺引擎相连。这个新引擎从温度高的热库吸收热量， $Q_{HN}$ ，传递到温度低的热库， $Q_{CN}$ ，并做功 $W_{N}$ ；卡诺引擎则从温度低的热库吸收热量， $Q_{CC}$ ，传递到温度高的热库， $Q_{HC}$ ，也就是一个卡诺制冷机，并由新引擎对它做功, W_C 。

因为我们让新引擎对卡诺引擎做功， W_N = W_C ，因此我们也可以把它们两考虑成一个系统，这个新系统不对外做功。我们假设合成的系统，从温度低的热库吸收热量 $Q_{CC} - Q_{CN}$ ，传递热量到温度高的热库 $Q_{HC} - Q_{HN}$ 。

我们的假设是新引擎效率更高，所以

$frac{W_N}{Q_{HN}} > frac{W_C}{Q_{HC}}$

但是 W_N = W_C ，

$Rightarrow Q_{HN} < Q_{HC} Rightarrow Q_{HC} - Q_{HN} > 0$

根据热力学第一定律

$W_C=Q_{HC} - Q_{CC} W_N=Q_{HN} - Q_{CN}$