哥德尔不完备性定理浅释 要理解哥德尔定理，先得理解集的概念。 (一) 集合 “集合”或集的描述：集这个概念，是不可 以精确定义的数学基本概念之一，故只能作 描述：凡具有某种特殊性质对象的汇集，其 总合被称为集。 例：一组数(可能是无限的)，一群人，一栏 鸡蛋。 在作数学上具体研究时，组成集的个体，被 称为“元”的其他特殊属性，如鸡的特性， 人的特性，数的特性，都不再考虑。于是， 一个集合就被抽象成A，它的元被抽象成x。 我们有 x 属于 A 我们也规定： A 不能属于 A 即A不能是A自己的一元，这个规定不是不合 理的，例如，所有的书所组成的集不是书！ 所以所有书的集合不能是这个集合的一元。 A 的某一部份B也可自行构造出一集，被称 为A之“子集”。 我们有 B 含于 A 特殊情况：B可以等于A，B也可以没有元素， 被称为“空集”，我们称这样两种情况叫住 A的“平凡”子集。 定义：对等 设A，B分别为两个集，如果A和B之间能建立 1-1的对应关系，则我们称： A 对等于 B 反之亦然。 对等是集与集之间最基本的关系。若A和B都 含有限个元，则两集之间要对等，当且仅当 二者的元的数目相等。 如果A和B都是无限的，则也能/不能建立对等 关系，如两个无限数列A和B： A：1，2，3，。。。 B：2，4，6，。。。 就能建立1-1对应，故 A 对等于 B 可以证明，任何两个无限数列的集合都能对 等。 但是，有些无限集之间却不能对等。 例：设实数轴0到1之间的所有有理数所组成 的集为R，又设0到1之间所有的无理数所组成 的集为I，则可证明(略)： 1.R和I之间不对等； 2.R对等于I中的一个非平凡子集，在这样的 情况下， 综合1。，我们说 R 小于 I 3.R 对等于 一个自然数序列 数目在无限大时候的推广。我们称上述A有“势” 为可数势，意味着，A的元数目可以一个一个地 数下去，虽然不一定能数完。于是，自然数序列 集具有可数势，任何有限集合也有可数势，而且， 由上面的3.可知有理数集也有可数势。 再从1.的结论可知，无理数的集有大于可数势 的势，我们称这个势为“不可数势”！ (二) “康脱悖论” 设M是一个集，这个集的元是由集合X所组成，其 中，X 不属于 X。 康脱悖论：M 不属于 M 同时 M 属于 M 事实上，如果M属于M，则由定义，M不属于M；反 过来，如果M不属于M，则同样由定义，M属于M。 这就出现了悖论，这个悖论首先由康脱提出来， 它类似于“塞维尔村理发师悖论”，1902年，罗 素又把它在叙述上修改了一下，把它作为一种悖 论，用来说明集合论的形式公理体系建立的必要。 康脱悖论的发现，引起了十九世纪末的数学界很 大的震动，原因在一切数学的推理和由推理得出 的结论最终可以由“与、或、非”三种基本逻辑 运算所构成的组合操作，而这些组合操作的集合 本身构成了矛盾，于是所有数学成就的整个大厦 开始动摇！ 其后，罗素等人提出了形式(逻辑)公理体系，试 图甩掉那些悖论，让数学在无悖论的情况下发展 (事实上，至今数学里还没有这样的悖论的干扰)。 办法就是，如怀特海所说，当一个形式逻辑体系 出现康脱悖论时，就用一个更大的逻辑体系去把 它包了，换句话说，就是让原先那个逻辑体系作 为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果， 新的母体系又产生了不可避免的矛盾。怀特海问： 就这样一层一层地包下去，以致于无穷，是否就 可避免了矛盾？ (三) 哥德尔不完备性定理浅释 哥德尔不完备性定理的提出和证明就是为了解决 怀特海上述猜想，它指出：使用层层外延法扩张 形式逻辑体系并不能清除其总和的矛盾！ 哥德尔最妙的想法就是把一切逻辑运算视作一种 二进制代码(CODE)，就例如，“与”可对应为1， “或”可对应为10，“非”可对应为11。但这些 二进制数却被他再转换成小数，如0.1，0.01， 0.11，组合逻辑运算不过是这三种码的组合，也 就是更复杂的小数。 递归：逻辑运算里有一种调用自身的运算，称为 “递归”。递归术语今天是编程算法里最基本的 运算方法之一。递归有两种结局：1.终止于有 限次数的操作；2.无限递归下去，在编程上被 称为死循环。 当逻辑体系按照怀特海的办法延拓到一个新的， 更大的逻辑体系时，旧的逻辑体系中的操作如果 被新的体系调用，就会出现递归，递归有时是无 限次数的(这是允许的，不象计算机运算不允许)， 在此情况下，由二进制代码所代表的逻辑运算将 出现无限循环的小数。 这样，哥德尔就用递归把每一次形式逻辑体系的 外延后的操作，用有限小数和无限循环小数代 表出来，而且他还证明了，这种代表是唯一对应 的，也就是说，每一二进制有限小数或无限循 环小数皆唯一对应于怀特海意义下的无限扩张逻 辑体系下的某一逻辑操作。 二进制与十进制：二进制数与十进制数之间能建 立起唯一对应关系，因之，实轴上0-1的一端(剃 除掉两个端点，0、1)的所有小数都可以由二进 制小数表出，而且，两种进位制里的有限小数和 无限循环小数都对应。 有理数和无理数：任何有限小数和无限不循环小 数都属于0-1之间的有理数。0-1数段的实数除了 全部含于其中的有理数以外，还存在着无理数， 例如2分之2的平方根。如果我们表0-1数段的所 有有理数集合为Ro，表剩下的所有无理数集合为 Io，则可证明： Ro 对等于 R; Io 对等于 I 这里的R、I见(一)中例的定义。因此，我们遂有 Ro有可数势，而Io有不可数势。 哥德尔证明了：怀特海意义下的无限延拓形式逻 辑体系的所有逻辑操作所组成的集合与Ro之间能 够建立起1-1的对应关系，也就是说，这两个集 合对等，因此，它们有相同的势。即都具有可数 势。 但是，如果我们把0-1间任意一个无理数对应成 一个逻辑操作，因为它无限不循环，这个操作是 我们不能确定的，但却能有限截断后知道的，我 们就可以理解成不能用确定的逻辑操作去解决的， 或者换个口吻，说成是矛盾。 于是，哥德尔就得出了结论，形式逻辑分析不能 用来解决认识中的所有出现的矛盾，更有甚者， 我们由Io的不可数势的性质看到，这样的矛盾远 多于形式逻辑分析所能解决的数量！ 哥德尔定理证明的独到之处，在于用数学反过来 证明逻辑分析问题，前面我们已经看到，数学上 已经确定了的推理本来是可被拆成基本逻辑操作 来推理的。罗素曾有个想法，认为所有数学的推 理都可拆开成基本的逻辑运算去实现，好象是数 学可以变成逻辑学似的，今天的哲学界数学界摈 弃了罗素这个想法，认为这是不可能的。

希望采纳

哥德尔定理其实是两个定理，其中哥德尔第一不完备性定理是最重要、也是误解最多的，从这一定理的版本众多就可以看出。如：

“如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必定是不完备的。”
“任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以在其中定义自然数的概念，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。”
“任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的”
第二不完备性定理是第一定理的一个推论：“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”
如果没有相关的知识基础，要理解这个定理真的是比较难。至于证明就更不容易看懂了。我偷点懒，跳过这些直接介绍其意义吧。
哥德尔定理是一阶逻辑的定理，在形式逻辑中，数学命题及其证明都是用一种符号语言描述的，在这里我们可以机械地检查每个证明的合法性，于是便可以从一组公理开始无可辩驳地证明一条定理。上世纪初，以希尔伯特为代表的形式主义派，希望能通过形式逻辑的方法，构造一个有关数论（自然数）的有限的公理集合，推出所有数论原理（完备性），且无矛盾（相容性），并以此出发构造整个形式主义的数学体系。而哥德尔第一不完备定理，粉碎了这一设想。这两个定理实际上表明，这样的公理系统要么不完备，要么有矛盾。数论的相容性为根茨（G.Gentaen，1909-1945）在1936年使用蕴涵着非演绎逻辑的超限归纳法所证明。
因而，该定理揭示在多数情况下，例如在数论或者实分析中，永远不能找出公理的完整集合。你可以在公理体系不断加入新的公理，甚至构成无穷的公理集合，但是这样的公理列表不再是递归的，不存在机械的判断方法判断加入的公理是否是该公理系统的一条公理。这对于计算机科学意义重大，在计算机语言中，一阶逻辑的定理是递归可枚举的，然而哥德尔第一不完备定理表明，无法编制这样的程序，通过递归的定理证明，可在有限时间内判断命题真假。彭罗斯的《皇帝新脑》中用停机问题描述了这一点，他甚至认为由此可知电脑永远不能超越人脑，甚至不可能达到人脑的水平。当然这点还不是定论，存在很大争议。
想说的简明一些，看来还是不行。还是结合对常见误解的分析，尽量来澄清模糊认识吧。
常见误解一：“所有的公理系统都是不完备的”。这是最常见的，甚至有人用这点来否定逻辑学，这是错误的。拿欧氏几何来说，就可以被公理化为一个完整的系统。
常见误解二：“所有包含到自然数的公理系统都是不完备的”。这个错误从上面的有些哥德尔定理的描述中都能看得出来。该定理仅假设公理系统能“定义”自然数。很多包含自然数的系统，例如“实数”和“复数”都有完备的公理化系统。
常见误解三：“因为不完备，我们永远无法证明一个公理系统无矛盾”。不，我们可以用其他方法证明，如上面提过的超限归纳法。其实该定理只表明我们不能从系统的内部证明相容性，不排除我们可以通过其他系统给出证明。例如，数论中的皮亚诺公理不能单独在数论范围内证明，但可在集合论中证明。

霍金说，自古以来人们就一直尝试建立宇宙的统一模型，从亚里士多德到牛顿，人类对宇宙的认识走过了一段曲折的道路。牛顿的理论问世后，人们似乎认为找到了一个能解释一切自然现象的理论，所以１９世纪初，法国科学家拉普拉斯就声称：“如果我们知道某一时刻宇宙内所有粒子的位置和速度，那么我们就可以预测宇宙的未来。”

但２０世纪量子论的问世使得绝对的决定论失去了基础，因为量子论的测不准原理认为，不可能同时准确地测到一个粒子的位置和速度。后来，科学家又发现了混沌现象，即在一处很小的扰动会在另一处引起巨变。一只蝴蝶在一个地方扇扇翅膀，就可能在很远的一个地方引起大雨。这就是为什么天气预报不准确的重要原因。因此，绝对的决定论就更站不住脚了。

拉普拉斯的梦想破灭了，那么会不会出现一个新的描述整个宇宙的统一理论呢？自爱因斯坦晚年尝试建立一个能描述自然界所有力的统一场论后，很多科学家一直在追求建立一个能描述整个宇宙的大统一理论。

目前，很多科学家提出有可能存在一个能描述一切物理现象的理论，并把这一理论称为Ｍ理论，或超弦理论。中国科学院理论物理所研究员朱传界在报告会后接受新华社记者采访时解释说，Ｍ理论又称膜（Membrane）理论、矩阵（Matrix）理论、母（Mother）理论和神秘（Mystery）理论。它认为弦或者膜是物质组成的最基本单元，所有的基本粒子如电子、光子、中微子和夸克都是弦或膜的不同振动激发态。它有可能将２０世纪创立的两大基础理论广义相对论和量子力学完美地结合起来。

他阐述了哥德尔不完备性定理。这一定理是数学家库尔特·哥德尔１９３１年证明的。它指出，在任何公理化形式系统中，总存留着在定义该系统的公理的基础上既不能证明也不能证伪的问题。也就是说任何一个理论都有解决不了的问题。尽管自爱因斯坦之后科学家又发现了很多自然界的基本特征，提出了一些新理论，但霍金毫不客气地指出，目前我们关于宇宙的所有理论“既不协调，又不完善”。这说明在物理学领域，很可能存在类似哥德尔不完备性定理的规律。因此他认为，不太可能建立一个单一的能协调和完善地描述整个宇宙的理论。

基本完成了
是在统一场论的基础上提出的

大统一理论公式
现在,人们发现微观粒子之间仅存在四种相互作用力,它们是万有引力、电磁力、强相互作用力、弱相互作用力.宇宙间所有现象都可以用这四种作用力来解释.进一步研究四种作用力之间联系与统一,寻找能统一说明四种相互作用力的理论称为大统一理论.
爱因斯坦在提出相对论以后,从20年代开始就致力于寻找一种统一的理论来解释所有相互作用,也就是解释一切物理现象,直到他1955年逝世.他几十年的努力虽未成功,但却激励了后人.
地球膨裂说认为，要想搞清大统一理论公式，必须首先搞清为什么万有引力公式和库仑力公式中的常数G和K互换万有引力和库仑力相等
要想搞清这一问题，必须搞清万有引力就是磁力。现代科学证明：“任何物质都具有磁性，所以任何物质在不均匀磁场中都会受到磁力的作用”{1}。科学家们现已测出：“星际空间磁感应强度为10^-10（T）、原子核表面约10^12（T）、中子星表面 约10^8（T）、人体表面 3×10^(-10) （T）{2}” 。连人体表面磁感应强度都 3×10^-10 （T），这说明铅球和苹果也必然具有磁力，所以苹果坠地并不是被万有引力吸落的，而是被地球磁力吸落的。因此万有引力是不存在的，万有引力就是磁力。
我们以原子核和电子间的万有引力和库仑力对万有引力公式和库仑力公式中的常数G和K互换万有引力和库仑力相等进行验证。
我们知道：G=6.67×10^-11、原子核质量为1.67×10^-27、电子质量为9.1×10^-31、原子核的电荷q1=1.6×10^-19、电子的电荷q2=1.6×10^-19、K=9.0×10^9。
常数G和K互换后原子核和电子间的库仑力G q1q2/r^2=6.67×10^-11×1.6×10^-19×1.6×10^-19=1.7×10^-48/r^2；
常数G和K互换后原子核和电子间万有引力KMm/r^2=9.0×10^9×1.67×10^-27×9.1×10^-31 =1.36×10^-47/r^2。
因为原子不显电性（磁性）电子和原子核的距离的正常距离，和原子显电性（磁性）电子和原子核的的超正常距离二者的差别非常小，所以差别可以乎略不计。
因此，常数G和K互换后的原子核和电子间的库仑力与常数G和K互换后原子核和电子间的万有引力二者基本相等。因此说库仑力就是万有引力就是磁力。
我们从G=6.67×10^-11、星际空间磁感应强度为10^-10（T），二者基本相等可以看出万有引力常数G就是星际空间磁感应强度；我们从K=9.0×10^9、原子核表面磁场强度约10^12（T）二者基本相等，可以看出库仑力常数K就是原子核表面磁场强度。因此计算万有引力和库仑力时，用的万有引力公式GMm/r^2和库仑力公式Kq1q2/r^2中的常数G和K应该换成磁场强度。
为什么计算原子核和电子间的万有引力和库仑力时，万有引力公式和库仑力公式中的常数G和K应该互换呢？地球膨裂说认为，原子之所以不显电性（磁性）是因为电子和原子核的距离是正常距离，因为原子核和电子都有磁性，原子核和电子间的距离是正常距离，因此，原子和电子之间的磁场强度应为原子核表面磁场强度约10^12（T）。原子之所以显电性（磁性）是因为流动的电子数量会受外界作用增多或减小,这样宏观反映为带电体，流动的电子和原子核的距离超出正常距离，所以原子核和流动电子之间的磁场强度应为星际空间磁感应强度为10^-10（T）。
因此，求宏观中的万有引力公式中的常数G应为空间磁感应强度；求微观中的万有引力公式中的常数G应为原子核表面磁场强度；求宏观中库仑力公式中的常数K应为原子核表面磁场强度，求微观中库仑力公式中的常数K应为星际空间磁感应强度。因此宏观中的磁场强度和微观中的磁场强度正好相反，万有引力和库仑力公式中的磁场强度正好相反。
因为宏观中的磁场强度和微观中的磁场强度正好相反，因此计算原子核和电子间的万有引力和库仑力时，用的万有引力公式GMm/r^2和库仑力公式Kq1q2/r^2中的常数G和K应该互换。
为什么万有引力公式GMm/r^2和库仑力公式Kq1q2/r^2只适用于宏观，万有引力公式KMm/r^2和库仑力公式Gq1q2/r^2只适用于微观呢？这是因为万有引力公式GMm/r^2和库仑力公式Kq1q2/r^2是在宏观条件下求得的，宏观中的磁场强度和微观中的磁场强度正好相反，所以只适用于宏观。
地球膨裂说认为，既然万有引力就是库仑力，万有引力就是磁力，所以库仑力也是磁力，这就是大统一理论。只要把万有引力公式F=GMm/r^2中的常数G换成磁场强度B（可变量），F=BMm/r^2就是大统一理论公式。因为微观和宏观中的库仑力等于常数互换后的万有引力，所以只要测出两个带电体的质量，求库仑力求常数互换后的万有引力就可以了。
参考文献：
{1}、百度搜索：百度百科，磁性。磁性概述：因为任何物质都具有磁性，所以任何物质在不均匀磁场中都会受到磁力的作用。
{2}、百度搜索：磁感应强度，4量纲，(单位:T)，原子核表面 约10^12；中子星表面 约10^8；星际空间 10^(-10)；人体表面 3*10^(-10)。
作者：赖柏林

世界近代三大数学难题之一四色猜想
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯研究一直没有进展。
1852年10月，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
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世界近代三大数学难题之一 费马最后定理
费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多）。
费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法
找到整数解。当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。
十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的「数学痴」。二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。
虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。
要证明费马最后定理是正确的（即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。
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世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。
几个未解的题。
1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地：
当k为奇数时 求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?
欧拉已求出：
(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6
并且当k为偶数时的表达式。
2、e+π的超越性
此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。
已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。
3、素数问题。
证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … (s属于复数域)
所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。
引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？
4、 存在奇完全数吗？
所谓完全数，就是等于其因子的和的数。
前三个完全数是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32个完全数全部是偶数。
1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则：
n>10^50
5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？
这是卡塔兰猜想（1842）。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。
6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？
这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。
三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。
1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。
1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。
2、问题2 算术公理相容性。
哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。
3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2
5、 问题 8 素数问题。见上面 二 的 3
6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。
德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。
7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。
此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。
8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。
1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。
9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。
代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。
10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。
要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。
11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。
无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。
12、 问题 20 一般边值问题。
偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。
13、 问题 23 变分法的进一步发展。

四 千禧七大难题
2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。
1、 黎曼猜想。 见 二 的 3
透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。
2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass GapHypothesis)
西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。
3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)
随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这就是相当著名的PNP 问题。
4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。
5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)
庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的三维闭流形与三维球面同胚。从数学的意义上说这是一个看似简单却又非常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的≥n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的≥广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测被证明了，这次是真的！」[14]。数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。
6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-DyerConjecture）一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与椭圆曲线有关。
60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1)；当s1= 0
7.霍奇臆测(Hodge Conjecture)
「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之上同调类的有理组合。」最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》