极坐标系和球坐标系的线元表达式

发布时间: 2021-11-16 20:36:33 来源: 励志妙语作者: 晴風栏目: 经典文章点击: 107

我们知道，在2维欧氏空间中线元的表达式为极坐标系与2维欧氏空间的对应关系如下：对应求微分得：计算得：相应的，3维欧...

极坐标系和球坐标系的线元表达式

我们知道，在2维欧氏空间中线元的表达式为 ds^2=dy^2+dx^2

极坐标系与2维欧氏空间的对应关系如下：

x=rcostheta

y=rsintheta

对应求微分得：

$dx=frac{partial x}{partial r}dr+frac{partial x}{partial theta}dtheta=costheta dr+r(-sintheta)dtheta$

$dy=frac{partial y}{partial r}dr+frac{partial y}{partialtheta}dtheta=sintheta dr+rcostheta dtheta$

计算得：

ds^2=dr^2+r^2dtheta^2

相应的，3维欧氏空间中线元的表达式为 ds^2=dy^2+dx^2+dz^2

球坐标系与3维欧氏空间的对应关系如下：

x=rsintheta cosvarphi

y=rsintheta sinvarphi

z=rcostheta

对应求微分得：

$dx=frac{partial x}{partial r}dr+frac{partial x}{partial theta}dtheta+frac{partial x}{partial varphi}dvarphi=sintheta cosvarphi dr+rcosvarphi costheta dtheta+rsintheta(-sinvarphi)dvarphi$

$dy=frac{partial y}{partial r}dr+frac{partial y}{partial theta}dtheta+frac{partial y}{partial varphi}dvarphi=sintheta sinvarphi dr+rsinvarphi costheta dtheta+rsintheta cosvarphi dvarphi$

$dz=frac{partial z}{partial r}dr+frac{partial z}{partial theta}dtheta=costheta dr+r(-sintheta)dtheta$

计算得：

ds^2=dr^2+r^2(dtheta^2+sin^2theta dvarphi^2)

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