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【知识仓库】运动

发布时间: 2021-05-18 14:56:19 来源: 励志妙语 作者: 爱XR的麦子 栏目: 经典文章 点击: 100

通过牛顿第二定律，得到之后，便可以用此去计算对应的了。匀加速运动当，可以轻易的推出一些物体的运动轨迹。通过加速度的定...

【知识仓库】运动

通过牛顿第二定律，得到 vec a = vec a(t) 之后，便可以用此去计算对应的 vec v, vec x 了。

匀加速运动

当 vec a(t) = {conts.} ，可以轻易的推出一些物体的运动轨迹。

通过加速度的定义 vec a = frac{dvec v}{dt} ，可以得到

int_{vec u}^{vec v} dvec v = int_{0}^{t} vec a dt

Rightarrow vec v - vec u = vec a t Rightarrow vec v(t) = vec u + vec a t

类似的，通过速度的定义 vec v = frac{d vec x}{dt} ，

int_{vec x_0}^{vec x} dvec v = int_{0}^{t} vec v dt

Rightarrow vec s = vec x - vec x_0 = vec u t + frac{1}{2} vec a t^2

更泛用的情况

以上的结论指针对于匀加速运动，但是对于会改变加速度的运动公式也可以用同样的方式得到相应的速度与位移。

对于 vec a = vec a(t) 的情况

int_{vec u}^{vec v} dvec v = vec v - vec u = int_{0}^{t} vec a(t) dt

对于 vec a = vec a(vec x) 的情况，利用 a(x) = frac{dv}{dt} = frac{dx}{dt} frac{dv}{dx} = vfrac{dv}{dx} （对于向量的表示要用到 vec nabla cdot vec v ，但没啥意思，类比一下也是一样的），得到

int_{vec u}^{vec v}vec v dvec v = frac{1}{2}(|vec v|^2 - |vec u|^2) = int_{vec x_0}^{vec x}vec a(vec x) dvec x

对于 vec a = vec a(vec v) 的情况，同理用下一维的情况

int_{u}^{v} frac{dv}{a(v)} = int_{0}^{t} dt = t

空气阻力

作为一个 vec a = vec a(vec v) 的例子。考虑一个物理坠落的场景， u = 0 ，物体受重力向下， F_g = mg ，受一个空气阻力向上，空气阻力 (drag) 可以被模拟为

F_d = -frac{mv}{tau} ，

其中 tau 是个常数，负号代表力的方向与运动方向相反。

根据牛顿第二定律

mg - frac{mv}{tau} = m frac{dv}{dt} ，

因此 a(v) = g - frac{v}{tau} ，而进行积分就会得到

t = int_{0}^{v} frac{dv}{g - frac{v}{tau}} = left[ -tau cdot {ln(g - frac{v}{tau})} right]_{0}^{v} = -tau cdot ({ln(g - frac{v}{tau})} - {ln(g)}) = -tau cdot {ln(frac{g - frac{v}{tau}}{g})}

Rightarrow e^{-frac{t}{tau}} = frac{g - frac{v}{tau}}{g} Rightarrow g e^{-frac{t}{tau}} = g - frac{v}{tau} Rightarrow v= gtau(1-e^{-frac{t}{tau}})

有了速度，就可以继续求路程了

x= int_{0}^{t}gtau(1-e^{-frac{t}{tau}})dt = left[ gtau(t+tau e^{-frac{t}{tau}}) right]_{0}^{t}

Rightarrow x(t) = gtau(t-tau(1- e^{-frac{t}{tau}}))

本文标题: 【知识仓库】运动
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