【知识仓库】量纲与量纲分析

发布时间: 2021-05-03 12:53:03 来源: 励志妙语作者: 爱XR的麦子栏目: 经典文章点击: 91

量纲(Dimensions)是不取决于单位(Units)的，描述一个物理量是如何与一个自洽的基础物理量集合之间的关系的。...

【知识仓库】量纲与量纲分析

量纲 (Dimensions) 是不取决于单位 (Units) 的，描述一个物理量是如何与一个自洽的基础物理量集合之间的关系的。至于这个基础物理量集合的设定并非固定的，但大部分是采用“质量-长度-时间”系统。科学中大量地使用SI units。

基本量

基础物理量	量纲	单位
质量 (Mass)	M	kg
长度 (Length)	L	m
时间 (Time)	T	s
电流 (Current)	I	A
温度 (Temperature)	theta	K
物质量 (Amount of Substance)	N	mol
发光强度(Luminous intensity)	J	cd

推导量

由基本物理量可以去推导其他任意物理量的量纲，举几个例子

推导物理量	量纲	单位
面积 (Area)	L^2	m^2
密度 (Density)	M L^(-3)	kg m^(-3)
加速度 (Acceleration)	L T^(-2)	m s^(-2)
力 (Force)	M L T^(-2)	N或kg m s^(-2)
电荷量 (Charge)	I T	C或A s

如何得到一个物理量的量纲？

运用一些知名的物理法则。

例子：判断理想气体常数R的量纲

$pV = nRT Rightarrow R = frac{pV}{nT}$

$p = frac{F}{A}$ ， F = ma ， $a = frac{d^2 x}{dt^2}$

$Rightarrow [a] = LT^{-2}$ ， $[F] = MLT^{-2}$ ， $[p] = ML^{-1}T^{-2}$ ， [V] = L^3

$Rightarrow[R] = [p][V][n]^{-1}[T]^{-1} = M L^2 T^{-2} {mol}^{-1} {Theta}^{-1}$

量纲分析

当我们分析一个涉及到一组物理量 ( q_1, q_2, q_3,...,q_n ) 的问题，我们期待存在一些物理法则，符合函数

q_1 = f(q_2, q_3, ..., q_n) ，

更正规点，任意一个物理法则都存在一个或多个不相关的无量纲变量 ( Pi_i - Dimensionless Group)

$Pi_1 =tilde{f}(Pi_2, ..., Pi_n)$ ,

而

不相关无量纲物理量的组 = 涉及的变量总数 - 不相关的基础物理量的数量

最正规的表述为Buckingham's PI Theorem。

前文提到基础物理量可以随意设定，因此不相关的基础物理量指在一组物理量中，如果所有的物理量之间没法互相表示则视为不相关。

例子：在钟摆中，周期、长度、重力加速度之间的函数关系中存在几组无量纲物理量？

$[tau] = T, [l] = L, [g] = L T^{-2}$ ，其中重力加速度的量纲可以用其余两个表示，因此

涉及的变量总数 = 3

不相关的基础物理量的数量 = 2

那么，不相关无量纲物理量的组 = 3 - 2 = 1

当分辨了不相关无量纲物理量的组，就可以通过指数项便可以了解这个函数的基本性质。如，当不相关无量纲物理量的组 = 1，

$Pi = q_1^alpha q_2^beta q_3^gamma ... = {const.}$

$Rightarrow [Pi] = [q_1]^alpha [q_2]^beta [q_3]^gamma ... = {dimensionless}$

因为是无量纲的，那么 $Pi^2, Pi^{frac{3}{2}}$ 或任意指数项都是无量纲的，因此只有比例是最重要的。

注：量纲分析是无法得到物理公式中的常数的。

例子：通过量纲分析，得到小角度时的钟摆关系。

$[Pi] = [tau]^alpha [l]^beta [g]^gamma = T^alpha L^beta {(LT^{-2})}^gamma = {dimensionless}$

Rightarrow alpha - 2gamma = 0; beta + gamma = 0

设 $alpha = 1 Rightarrow gamma = frac{1}{2} ; beta = - frac{1}{2}$ ，

$Pi = tau^1 l^{-frac{1}{2}} g^frac{1}{2} = {const.}$

$tau = {const.} sqrt{frac{l}{g}}$

量纲分析过程

$[Pi_1] = [q_1]^alpha [q_2]^beta [q_3]^gamma ... = {dimensionless}$

例子1：如何得到水波速度的物理关系？如果没发现不相关无量纲物理量的组=2会怎样？

按照上述的过程

先思考水波速度的决定因素有哪些？

水波传播速度，v， $[v] = L T^{-1}$ 重力，代表物理量 g， $[g] = L T^{-2}$ 水的深度，h， [h] = L

水的波长，

，

下一步，这里涉及4个物理量，其中有2个不相关的基础物理量。

h和 lambda 的量纲都是，而v的量纲 $L T^{-1}$ 可以被表示为 $sqrt{L T^{-2} times L}$ 。因此，这里的基础物理量可以为和 $L T^{-2}$ 。（当然这里单纯认为是和也ok）

所以，有2组不相关无量纲物理量。

倘若，在这里没有意识到是2组不相关无量纲物理量，那么会直接有下一步

$[Pi] = [v]^alpha [g]^beta [h]^gamma [lambda]^delta = {(LT^{-1})}^alpha {(LT^{-2})}^beta L^gamma L^delta = {dimensionless}$

然后， -alpha-2beta = 0; alpha + beta + gamma + delta = 0 ，

假设 $alpha = 1 Rightarrow beta = -frac{1}{2}$ ，但是却无法直接解出 gamma 和 delta ，说明不止一组不相关无量纲物理量。

那么，假设 $gamma = 0 Rightarrow delta = -frac{1}{2} Rightarrow Pi_1 = v g^{-frac{1}{2}} lambda^{-frac{1}{2}} = {const.}$ ，

或者，假设 $delta = 0 Rightarrow gamma = -frac{1}{2} Rightarrow Pi_2 = v g^{-frac{1}{2}} h^{-frac{1}{2}}= {const.}$ ，

事实上，上面两组不相关无量纲物理量分别代表这两种极端情况，一种是深水域 v = {const.} sqrt{ g lambda} ，一种是浅水域 v = {const.} sqrt{ g h } 。

上述情况是如果事先没分析出多组不相关无量纲物理量的情况，但如果分析出来了，那么可以认为 $Pi_1 =tilde{f}(Pi_2, ..., Pi_n)$ ，

而 $[Pi_1] = [q_1]^{alpha_1} [q_2]^{beta_1} [q_3]^{gamma_1} ... = {dimensionless}$ , $[Pi_2] = [q_1]^{alpha_2} [q_2]^{beta_2} [q_3]^{gamma_2} ... = {dimensionless}$ , ...

有些物理公式是无法直接通过量纲分析得到的，但是也可以给后续实验提供一个指导性的方向。

例子：通过量纲分析，得到任意起始角度时的钟摆关系。

这时，可能涉及4个物理量，周期 tau ，重力加速度，绳长，起始角度 theta_0 ，其中有2个不相关的基础物理量， $[theta_0] = {dimensionless}$ ，因此有2组不相关无量纲物理量。

$Pi_1 = tau^alpha l^beta g^gamma; Pi_2 = theta_0; Pi_1 = tilde{f}(Pi_2)$ ，

所以最后的结果会是

$tau = sqrt{frac{l}{g}} f(theta_0)$ ，其中代表一个函数，是通过量纲分析无法确认的，因此需要进一步的理论或实验。同时还可以根据物理直觉去推测这个函数的性质，例如在起始角度小的时候应该不会有太大的变化幅度，但是在角度接近180度的过程中影响逐渐变强。

最后一个例子 -- 通过量纲分析，估计氢原子大小

第一步，分析计算氢原子半径会涉及到的物理量：

普朗克常数，

，代表量子力学会涉及其中真空介电常量， epsilon_0

，代表静电力会涉及其中电子质量， m_e

，代表氢原子的大小应该取决于核外电子电子电荷量（元电荷），

，理由同上

然后，

[r] = L; [m_e] = M; [e] = Q ，这里将电荷作为一个基本物理量，而不需看成电流乘时间（当然换成这个也无所谓）。

[h] 利用 $E = hf; f = frac{1}{tau}, E = Delta W = F Delta x; F = ma; a=frac{d^2x}{dt^2}$ 可以得到 $[h] = M L^2 T^{-1}$ (与角动量为同一量纲)；

[epsilon_0] 则可以通过 $F_e = frac{q_1q_2}{4piepsilon_0r^2}$ 得到 $[epsilon_0] = Q^2 T^{2} M^{-1} L^{-3}$ 。

第二步，5个物理量，4个不相关的基础物理量（ Q, T, M, L ），由此看出只有1组不相关无量纲物理量。

第三步， $Pi = r^alpha e^beta epsilon_0^gamma h^delta {m_e}^eta = {const.}$ 代入可得

beta + 2gamma = 0 -gamma + delta + eta = 0 2gamma - delta = 0 alpha - 3gamma + 2delta = 0

设 gamma = 1 Rightarrow beta = -2; delta = 2; eta = -1; alpha = -1

最后，

$r = {const.} frac{epsilon_0 h^2}{e^2 m_e}$ ，

假设常数项约为1，那么 $r approx 1.7 times 10^{-10} m$ 。

对比实际理论数值（Bohr radius） $r = a_0 = frac{1}{pi} frac{epsilon_0 h^2}{e^2 m_e} = 5.29 times 10^{-10} m$ ，这个估计算是很接近的了。

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