量子力学描述电子在原子中的运动状态使用的是波函数，波函数可以表示电子在原子中的位置和动量的概率分布。一个原子轨道要用四个量子数来描述，它们分别是主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数。

主量子数（n）：主量子数是最重要的一个量子数，它代表着原子中的电子所在的能级。能级越高，主量子数就越大。主量子数的取值范围是正整数，从1开始逐渐增加。

角量子数（l）：角量子数描述了原子中电子的角动量大小和方向。角量子数的取值范围为0到n-1，其中n是主量子数。例如，当主量子数为3时，角量子数的可能取值为0、1和2。对于一个给定的角量子数，它可能对应多个可能的轨道，这些轨道具有不同的形状和能量。

磁量子数（m）：磁量子数描述了原子中电子角动量在空间中的方向。对于一个给定的角量子数l，它的可能取值范围为-l到l。例如，当角量子数为2时，磁量子数的可能取值为-2、-1、0、1和2。磁量子数的取值决定了电子在原子中的轨道形状，因此可以用来区分不同的轨道。

自旋量子数（s）：自旋量子数描述了电子固有的自旋角动量。自旋量子数可以取两个值：+1/2和-1/2。自旋量子数的值对应着电子自旋的朝向，具有+1/2自旋的电子称为自旋向上电子，而具有-1/2自旋的电子称为自旋向下电子。

这四个量子数的组合可以描述原子中每个电子的运动状态。主量子数决定电子所处的能级，角量子数和磁量子数决定轨道的形状和方向，而自旋量子数决定电子的自旋朝向。这些量子数在量子力学中起着至关重要的作用，可以帮助我们更好地理解原子结构和化学反应的机制。

本文主要从 量子论起源、能量子假设、光电效应、康普顿散射、玻尔量子论、德布罗意物质波、概率波函数、量子叠加态原理、不确定性原理、薛定谔方程 等十大概念理解量子力学 基本原理 ，见证二十世纪真正的 神话 。

量子力学 其实描述的是物质的 行为 ，特别是发生在 原子尺度 范围内的 事件 。在极小尺度下事物的行为与我们有着 直接经验 的任何事物都不相同。它们既不像波动，又不像粒子，也不像云雾，或悬挂在弹簧上的重物，总之 不像 我们曾经见过的任何 东西 。

量子论的 起源 来自一个大家 熟悉的现象 ，这一现象并不属于原子物理学的核心部分。任何一块 物质 在被加热时都会 发光 ，并在高温度下达到红热和白热，发光的亮度与材料的表面关系不大，而对于 黑体 ，只与 温度 有关。因此，黑体在髙温下发出的 辐射 作为物理学研究的适当对象，被认为应该可以根据已知的辐射和热学定律找到一个简单的 解释 。但是物理学家 瑞利 和 金斯 在十九世纪末的努力却以失败告终，揭示了黑体辐射问题的严重性。

普朗克 大胆舍弃了“ 能量均分定理 ”，代之以“ 量子假设 ”——能量只能以分立的 能量子 的形式发射或吸收，这在概念上是一次革命性的 突破 ，以致它不再适合于物理学的传统框架。

频率 为v的 电磁波 和原子、分子等物质发生能量转换时候，能量不能连续 变化 ，只能 一份 一份的跳变，且每份“能量子”为：

ε=hv=ℏω ，其中约化普朗克常数 ℏ=h/(2π)

普朗克公式

普朗克根据能量的量子化，得出 角频率 为ω的电磁振动模式在温度T下的平均能量不再取“ 能量均分定理 ”给出的KT，而是：

E(ω)=ℏω/(e^(ℏω/kT)-1)

利用 热力学 和物理 统计 理论，导出了著名的（描述电磁波能量和角频率关系）的 普朗克公式 ：

ρ (ω)=(ℏω³/π²c³)/(e^(ℏω/kT)-1)

光 和其他 物质 发生相互作用时， 基元过程 通常表现为 光子 — 电子 作用，作用电子的能量与光的 强度 无关，而只与光 频率 有关。因此， 爱因斯坦 假设，光本身是由穿过空间的 能量子 组成的，一个光量子的能量应当等于光的频率乘以 普朗克常数 ：

E=hv

光电效应 中 电子 的动能由 逸出功 W（由金属性质决定）和入射光的 频率 v所决定，而与光的 强度 无关：

1/2mv²=hv-W

除了光电效应外，爱因斯坦关于“ 量子假设 ”的另一个应用是固体的 比热 。从传统理论推导出来的固体比热值与高温时的观测记录相符，但在低温时却 不相符 。于是，爱因斯坦将量子假设运用到固体中原子的 弹性振动 上，从而解释了这种现象。

最初关于散射光 干涉 的实验中，散射主要以下列方式解释：入射光波使得处于 光束中 的一个电子以光波的频率振动，然后振荡的电子发出一个 同样频率 的球面波，从而产生了散射光。

1923年 康普顿 在关于 X射线 的散射实验中发现，散射出来的X射线的频率与入射X射线的 频率不同 。于是，康普顿假设散射过程是 光量子 和电子的碰撞，光量子在碰撞过程中 改变 了能量，因为频率乘上普朗克常数是光量子的能量（hv），所以频率才发生了改变。

通过对散射过程应用 能量守恒定律 ：

hv+mc²=hv´+E

可以推导出 波长变化量 ：

λ´-λ=h(1-cosθ)/mc²

最后得到 康普顿波长 ：

λ=h/mc²

早先的 卢瑟福原子模型 并不能解释原子具有的最突出的特性，即原子的 巨大稳定性 ，按照牛顿的力学定律，从来没有一个 行星 系统在它和另一个这样的系统碰撞以后能够 恢复 它原来的 形态 。但是对于一个 碳原子 ，在化学结合过程中的任何一次碰撞和相互作用之后，都可以始终 保持 为一个碳原子。

因此，玻尔提出了 三大初等量子理论 ：

（1） 定态

原子核外电子的能量只能取分立值： E1、E2、E3 等

（2） 定态跃迁

原子可以从能量较高的定态向较低的定态的跃迁，从而决定了频率：

v=(E2-E1)/h

（3） 角动量量子化

原子核外电子角动量必须满足：

J=mℏ

通过 量子 假设在原子模型上的应用，不仅解释了原子的 稳定性 ，而且，对原子加热受激发后所发射的 光谱 线也作出了很好的理论解释。

德布罗意 根据一个 光波 对应于一个运动 光量子 ，假设了一个运动 电子 对应于某种 物质波云 。 物质波波长 为：

λ=h/P

概率波函数 的概念是牛顿以来理论物理学中 全新 的东西。在数学或统计力学中， 概率 意味着我们对实际状况认识 程度 的陈述。 然而， 玻尔、肯纳德、玻恩 认为， 概率波 意味着对某些事情的 倾向 ，它是亚里士多德关于“ 潜能 ”的哲学槪念的定量表述，是一种抽象的 数学量 ，一种在 无限维希尔伯特空间中的波 。概率波引入了某种 介于 实际事件和事件观念之间的东西，是一种介于可能性和实在性之间的新奇的 物理实在 。

通过电子的 双缝干涉实验 发现， 探测屏 检测到 电子 的概率P(x)，并不是简单的两缝单独开启时的概率P1(x)、P2(x)之和，而是存在互相影响的 干涉项 ：

P(x)=P1(x)+P2(x)+干涉项

而对于 经典波函数 存在干涉项是很自然的，总波幅ψ(x)是两缝的波幅之和：

ψ(x)=ψ1(x)+ψ2(x)

于是可以假设 概率波函数 为：

ψ(x,t)=Ae^i(kx-ωt)

量子态叠加原理 是“ 态的叠加性 ”和“ 波函数完全描述一个微观系统的状态 ”两个 概念 的概括，表明了整个量子系统的状态空间必须是 线性空间 。

ψ=c1ψ1+c2ψ2

因为概率波是 德布罗意物质波 ，所以量子态叠加原理与经典波的线性叠加有 本质不同 。例如，同样的波函数叠加仍然描述 同一个系统 、测量会导致波包 坍缩 、每次测量得到的力学量数值都是 本征值 等等。

海森堡 于1927年给出了 不确定性原理 的论述。根据他当时的表述， 测量 这动作不可避免的 搅扰 了被测量粒子的运动状态，因此产生不确定性。后来 肯纳德 指出，位置的 不确定性 与动量的不确定性是粒子的 秉性 ，它们共同遵守某极限关系式， 与测量动作无关 。

位置的不确定性ΔX与动量的不确定性ΔP遵守 不等式 ：

ΔXΔP≥ℏ/2

关于 动量 的概率波函数Φ(p)与 位置 的波函数ψ(x)构成了 傅里叶变换对 ，标准差σ可以定量地描述位置与动量的不确定性。因为傅里叶变换对的 频域 函数与 空域 函数不能同时收缩或扩张，所以必然有误差 宽度 。数学上已经证明了傅里叶变换的空域宽度Δx和频域宽度Δy的乘积有一个 下限 ：

ΔxΔy≥1/(4π)

因此可以得到动量和位置的 关系式 ：

ΔXΔP≥h/(4π)=ℏ/2

可见不确定性原理根源于粒子的 波粒二象性 ，是一种内禀属性，蕴含着相当深刻的意义。

薛定谔方程 是量子力学最 基本 的方程，其地位与 牛顿 方程在经典力学中的地位相当。它是量子力学的一个 基本假定 ，无法从理论上证明，它的正确性也只能从 实验 检验。

当 概率波函数 ψ(x,t)确定以后，微观粒子的各种可能的测量概率都完全 确定 ，下一个核心问题就是解决量子态怎样随 时间变化 及各种情况下如何求得概率波函数。薛定谔对量子实验进行理论分析主要分 三个步骤 ：

（1）将初始实验状况 转述 成一个概率波函数。

（2）在时间过程中 追踪 概率波函数的改变。

（观测本身 不连续 地改变了波函数，需要从所有可能的事件中选出了 实际 发生的事件）

（3）系统的 测量 结果可以通过概率波函数 推算 出来。

在1626年，薛定谔终于得出该方程，揭开了量子世界的 基本规律 ：

综上所述，量子力学引人以 无限遐想 ，同样也引来 众多非议 ，尤其是近年来，“貌似”不确定性原理的一种常见的解释被实验 证伪 ，但是正如当年“不确定性原理” 创立 之时， 海森堡 自己所说， 科学 是从 信仰 开始的，或者应该说是从 幻想 开始的。这在很大程度上使得我们 坚信 ，能够 确定 地描述这个世界，而丝毫 不用牵涉 到我们自己。

量子力学 与 相对论 是20世纪物理学最重要的发展，构筑了近代物理学的 理论基础 。尽管量子论的实质尚未明确，与相对论彼此冲突，然而， 量子力学已然辉煌，风采依旧 。

量子力学在推导原子中电子的运动状况时会出现四个量子数。

n是主量子数，它对电子能量的影响通常是最大的。它主要就表示电子距离原子核的“平均距离”的远近，越远，n越大，相应的能量也越大。n等于电子绕核一周所对应的物质波的波数——绕核一周有n个波长的电子的物质波。n可能的取值为所有正整数。

l是轨道量子数，它表示电子绕核运动时角动量的大小，它对电子的能量也有较大的影响。l可能的取值为小于n的所有非负整数。

m是磁量子数，在有外加磁场时，电子的轨道角动量在外磁场的方向上的分量不是连续的，也是量子化的，这个分量的大小就由m来表示。m可能的取值为所有绝对值不大于l的整数。

ms是自旋量子数，它对应着电子的自旋的角动量的大小和方向，它只有正负1/2这两个数值，这表示电子自旋的大小是固定不变的，且只有两个方向。

量子数表征原子、分子、原子核或亚原子粒子状态和性质的数。通常取整数或半整数分立值。量子数是这些粒子系统内部一定相互作用下存在某些守恒量的反映，与这些守恒量相联系的量子数又称为好量子数，它们可表征粒子系统的状态和性质。

在原子物理学中，对于单电子原子（包括碱金属原子）处于一定的状态，有一定的能量、轨道角动量、自旋角动量和总角动量。表征其性质的量子数是主量子数n、角量子数l、自旋量子数ms=1/2，和总角动量量子数j。