伯努利对最速降线的证明最速降线问题，是17世纪的著名难题，难倒了很多数学家。1630年，大科学家伽利略，提出"一个质点，只在重力作用下，从一个给定点，到不在它垂直下方的另一点，不计摩擦力，问沿着什么曲线下滑，所需时间最短？"“如果使分层无限增加，每层的厚度无限变薄，则质点的运动趋近于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线。而折线的每一段趋向于曲线的切线，因此得到最速降线的一个重要性质，即任意一点上切线和铅垂线所成的角度的余弦，与该点落下的高度的平方根的比值是常数。而具有这种性质的曲线就是摆线。”

欧拉对巴塞尔级数的证明巴塞尔级数（1+1/4+1/9+1/16+……），于1650年提出，一百多年来，无人能给出准确值，甚至牛顿、莱布尼兹和伯努利这样的大数学家，掌握微积分都无能为力。然而在1734年，27岁的大数学家欧拉，利用非常基础的知识解决了这个难题。

莱布尼兹级数的证明大名顶顶的莱布尼兹级数该级数形式非常美妙，还包含了圆周率，表面上看，这个级数的证明，应该不简单，可事实是，只要稍微懂点微积分知识，就相当容易。

 康托尔对自然数和有理数"一样多"的证明康托尔之前，人们都认为有理数远远多于自然数，直到康托尔指出，两者的势是一样的，并提出著名的对角线法则。

高中数学中有一个问题对我有很大的影响，所以我现在是一个大四学生，这个问题还记得很清楚。高中数学试卷上有一个问题。就像这样：

如图所示，两个椭圆的偏心率相同，从外椭圆的两个顶点ab绘制内椭圆的切线。两个切线斜率的乘为-1/4。椭圆的偏心率是多少？记得老师一个全班都在讲这个问题，讲了两种方法，在计算过程中写下了整个黑板。但是当我听复习时，我觉得考试中使用的方法简单得多，几乎没有任何计算。我的方法是：由于偏心率相同，这意味着两个椭圆是相似的。首先，将整个图形的纵坐标乘以a/B，然后将其缩放为圆

在这种情况下，两条切线是垂直的，斜率积是-1。通过连接od和OC证明ODB和OCA是一致的前一个斜率乘积为-1/4，表明a/b=2，偏心率为。当我下课后独自来到老师面前说这种方法时，老师很惊讶，我也有点骄傲了一段时间。从那时起，似乎又开了一扇新门。突然间，许多带有圆锥截面的高考试题，都可以用“先缩放成圆”的方法来解决，这就省去了大量的计算。这些问题包括国家、四川、山东等，我用一本特别的书记录了这些问题。

后来，我特别检查了一下，发现里面还有很多知识。有一个特殊的科学分支，叫做射影几何，它研究我发现的这类问题。我以前做过这个问题时发现了那些“特别的地方”。射影几何中的专业术语叫做“反转点”，这是几何中非常完美的分支，我使用的只是射影几何的表面，我偶然发现了。

为什么它对我影响很大？因为通过这种巧妙的方法，我理解了圆锥截面的问题。虽然我们都说它实际上是一个计算量很大的代数问题，但毕竟是一个“曲线”，其本质是几何。把握问题的本质，有时会消除“偏差”造成的额外工作。虽然我的专业不再是数学，而是工程科学，但由于工程是一门面向目标的学科，这一真理实际上在工程领域更为普遍。有时候，我很容易工作，调试各种程序电路，但没有进展。这时，我总是想到这种巧妙的高中方法，然后再想想事情的本质，也许会很亮。

最近，我什么也没做。我已经翻阅了高中时记录这些问题的书。它有许多类似的方法。分享一个类似的问题。02如图所示：在椭圆的顶点a上画一条直线，在Q处与Y轴相交，穿过原点的光线在P处与椭圆相交，有op//aq。验证：这个问题的最好解决方法仍然是射影几何。类似地，图形坐标×A/B，椭圆变成一个圆，然后连接OQ，MB：设置：伸缩转换后：（R是圆的半径，可根据平行条件获得）

注意，这两个等腰三角形相似：因此，有：将上述公式与半径r相结合，可以得到如下结果也有很多类似的问题，高中生可以借鉴。但毕竟这是剑拔弩张，考试还是主要用老师的方法，真的想不出来，再试试射影几何法。有些人可能会说，如果你使用这个，你会失去积分，但是如果你考虑它，你什么时候会想到使用这个？一定是传统方法做不到的情况。那么你宁愿用这个扣除也不愿意离开

【命P_x(1,2)为适合下列条件的素数p的个数： x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3) 其中p_1, p_2 , p_3都是素数. 用x表一充分大的偶数. 命Cx={∏p|x,p 2}(p-1)/(p-2){∏p 2}(1-1/(p-1)^2 ) 对于任意给定的偶数h及充分大的x,用xh(1,2)表示满足下面条件的素数p的个数： p≤x,p+h＝p_1或h+p＝(p_2)*(p_3), 其中p_1,p_2,p_3都是素数.

也许这不是最拍案叫绝的证明过程，但绝对是中国人在数学领域内做出的最杰出的贡献，这就是我国著名数学家陈景润在1966年提出的，关于哥德巴赫“1+2”的证明。

1973年,《中国科学》杂志正式发表了陈景润的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》

时至今日，依然没有任何数学家能够证明“1+1”的问题，所以陈景润这个关于“1+2”问题简洁清晰的证明便显得弥足珍贵。

这个问题是很带有主观色彩的，毕竟每个人看法不一样，我只说出我认为数学上好的证明过程。

无理数的无理数次方可能为有理数

说实话无理数的无理数次方让人听起来就有点头晕，现在还要证明其结果可能为有理数。有些数学不好的人可能脑袋都要大了。

但总有一些人我们理解不了，例如这种证法若根号2的根号2次方为有理数，命题得证以得证。如果这个数扔为无理数那么:

中国古人对勾股定理的证明

勾股定理没有人不知道，但是这只是以我们现在的眼界去看。想想我们的古人在千年之前就能够证明了！

这是三国时期赵爽的证明过程:

三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补

虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c……2 ）。由此可证勾股定理。

x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3) 其中p_1, p_2 , p_3都是素数. 用x表一充分大的偶数. 命Cx={∏p|x,p
2}(p-1)/(p-2){∏p 2}(1-1/(p-1)^2 )
对于任意给定的偶数h及充分大的x,用xh(1,2)表示满足下面条件的素数p的个数：

p≤x,p+h＝p_1或h+p＝(p_2)*(p_3),
其中p_1,p_2,p_3都是素数.也许这不是最拍案叫绝的证明过程，但绝对是中国人在数学领域内做出的最杰出的贡献，这就是我国著名数学家陈景润在1966年提出的，关于哥德巴赫“1+2”的证明。1973年,《中国科学》杂志正式发表了陈景润的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》时至今日，

依然没有任何数学家能够证明“1+1”的问题，所以陈景润这个关于“1+2”问题简洁清晰的证明便显得弥足珍贵。这个问题是很带有主观色彩的，毕竟每个人看法不一样，我只说出我认为数学上好的证明过程。无理数的无理数次方可能为有理数说实话无理数的无理数次方让人听起来就有点头晕，现在还要证明其结果可能为有理数。

有些数学不好的人可能脑袋都要大了。但总有一些人我们理解不了，例如这种证法若根号2的根号2次方为有理数，命题得证以得证。如果这个数扔为无理数那么:此时我们同样得到了一个无理数的无理数次方是有理数的例子。

1.勾股定理得的无字证明

这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。

2.欧拉的流氓证明法

在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，他采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。

3.旋轮线的面积求解

车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。

这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。