上一篇中，我们假设了一个二体模型，找到了两个独立变量 和 ，并将哈密顿量化简成下面的形式：

接着，我们假设波函数可以作以下变化：

接着，对定态薛定谔方程一步步分离变量：

首先，将 (2) 式代入：

然后，我们先将 (4) 式左边展开化简：

于是，将 (4) 式左右两边同除 ，得：

稍微整理一下，得到：

观察 (7) 式发现，左边第一次项只与变量 有关，第二项只与变量 有关，而等式右边却是一个常数 ，于是只可能是左边的两项也分别等于一个常数，设为 和 , 于是有：

接着，在具体的情形下，通过各种限制条件，可以求解式 (8) 和 (9)，分别得到 和 ，也可以解得 和 的值，最后的总波函数就是两者波函数的乘积，总的本征能量 就是能量的加和。

从物理意义上而言，我们找到两个独立变量 和 ，分别表征系统质心的运动和两个粒子的相对运动，因为它们的动量算符可对易，即 ，所以通过分离变量的方法去化简定态薛定谔方程，从而找到本征波函数 ，它是质心运动和相对运动的共同本征函数。

事实上，更一般的情况是，如果算符 和算符 对易，那么就一定存在一组共同完备的本征波函数，反之亦然。

在接下来的任务中，我们关注于求解氢原子的波函数，于是要从一维扩展到三维空间。但思路同样是将电子和原子核的运动转换成质心的运动和相对运动，并且重点求解相对运动的本征方程。

如果要求解氢原子能级，当我们关注电子和原子核的相对运动时，在三维空间有三个自由度，于是在上述推导基础上扩展，我们希望找到三个对易的本征算符，它们拥有着一套共同的本征函数集，也就是氢原子的本征波函数，最后也能够求得对应的本征值，也就是氢原子的分立能级。

以上内容

整理于

《张朝阳的物理课》5.20线上课