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学过线性代数的人，都会矩阵相乘。那矩阵相乘背后的道理是什么呢？

大约在1855年，Cayley（英国数学家，矩阵理论的先驱）在研究线性方程的复合问题时，提出了矩阵相乘的法则。基本过程如下：

假设有两个线性系统f(x)、g(x)如下：

其中，f(x)是由两个线性表达式构成的线性系统，g(x)也是如此。

那么，若有线性系统h(x)是f(x)和g(x)的复合系统，则有

把三个线性系统的系数用如下矩阵形式表示出来，

根据变量前面的系数的对应关系有，

上式就是我们现在所用的矩阵乘法法则。

Cayley称H是F和G的复合（composition）或乘积（product），换句话说，矩阵相乘法则源于线性系统的复合，其含义也是表示了线性系统的复合。

简单地说，线性系统的线性系统仍是一个线性系统。

这就是矩阵乘法的由来和含义。从中也能窥见一些线性代数中“线性”二字的意涵。

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