楼上的回答不错，不过未能直接回答问题二。说到这个问题，先要修正一下楼主的表述，动能对速度的导数才是动量，而不是对任意（可能）变量的导数都等于动量。在变速运动中，动能既可看做速度的函数，同样也可看做时间（或其它物理量）的函数。自变量不同时，导数自然不同。

当速度为自变量时，根据动能和动量的定义以及求导法则，很容易就可以得出问题的结论。如果你满足于定义，那这个问题太简单了，根本不值得讨论。因此要追问为什么动能的导数为动量，实质上就是要追究为何动能和动量要按现在的样子定义，而不是其它的形式。这个问题涉及到牛顿力学的整个框架，当然不是几句话就可以解决问题的。

作为一个例子，我们就讨论动能为何定义为1/2mv^2。楼上导出的F*s=m*1/2*v^2=1/2mv^2（其中F为恒力，尽管不具有普遍意义，为简化讨论我们就讨论F是恒力的情形），说明功与1/2mv^2的关系（准确地说是和1/2mv^2的变化量相等，楼上假定了v1为零<误写成v2=0了，这是小问题>，才有上述的关系），为明确我们将这个关系重新写成F*s=1/2mv2^2 - 1/2mv1^2。v1和v2都是描述物体（瞬时）运动状态的量，当它们取得定值时，就唯一指定了物体运动的状态（为简化，仅考虑机械运动）。显然v取得定值1/2mv^2也必然取得定值，即一定运动状态下1/2mv^2具有确定值。这个值的大小唯一取决于现在的运动状态，与之前以及今后物体如何运动无关。这样的物理量我们称之为状态量。现在我们看到对一个物体做功FS数值上等于物体在（受到外力）做功前后两个不同运动状态下的1/2mv^2之差（也即做功量=状态量1/2mv^2在做功前后的差值）。我们就把这个1/2mv^2定义为物体（在某一运动状态下)的动能（其实你随便把1/2mv^2叫做什么都可以，事实上历史上这个量起初被称为“活力”activity）。由于做功与1/2mv^2的变化量之间存在这样的简单关系，对我们研究问题提供了方便（例如有些情况下做功量不容易计算，我们就可以用这个关系间接求算）。我们给物理量1/2mv^2起个名称（动能）的目的仅是为了表达简明，不必说成“质量乘以速率平方的一半”这样繁琐的说法。

如果我们再进一步追根溯源，追问功为何定义为FS而不是其它的形式呢（如果功不是这样定义，显然得不到 功=1/2mv2^2 - 1/2mv1^2的关系，动能的定义就必然不同）？楼主可以参看我曾经回答过的问题。http://zhidao.baidu.com/question/167807558.html?an=0&si=7

动能是标量，只有大小。它属于能量的一种，可以和其他形式的能量转换。能量这种东西，看不见，但又是客观存在的。
动量是描述物体状态的量，是矢量。我没记错的话，应该在高二，给出了牛二 定律的原始形式，F=d(mv)/dt，m为常数，所以有Fdt=m*dv，两边同时对t定积分得：Ft=mv2-mv1。假设v2=0，则：Ft=mv，力在时间上的积累量，等于物体状态的改变量。
在上式两边同乘以dv，F*tdv=mvdv，F*ds=mvdv，再次积分，F*s=m*1/2*v^2=1/2mv^2。
力在空间上的积累量，等于物体能量的改变量。
你把最后一式，求导，逆着推过去也是一样。
物体运动，它既有动能，又有动量，它们是两个完全不同的量，但又有联系，例如，这和物体的质量和它受的重力有类似的关系。
可以继续追问。

在相对论中动能和动量分别是同一个矢量—— 4-动量的类时和类空分量，随着参考系的变换，能量和动量之间也会互相转化。当然相对论下动能表达式为mc^2，动量仍然是mv，但这里两处m都是相对论性质量，不是静止质量。

动量（看单位分析）可以看成力对时间的积累，而能量是力对位移积累量。位移函数的导数就是速度函数，F看成常数项。速度与时间据顶位移

动能的变化取决于力在位移上的积累
而动量的变化取决于力在时间上的积累
所以所谓对动能求导，其实是对位移求导，而位移的一阶导数就是速度

“一个物体的速度的变化量与物体在该段速度内动量的变化量围成的梯形的面积是物体的动能”

相应的你所说的这个，其实是速度—时间（动量）图像，其面积就是位移（动能）。

这没什么意义的，你这是把v看作未知数，m看作常量，求导只是得出动能变化率是动量，但仅是公式变形而已

纯粹微积分技术问题

动量和动能的本质区别

动量（mv）和动能（）都是反映物体运动状态的物理量，又都取决于运动物体的质量和速度，但是这两个物理量有着本质的区别。

一、动量和动能是分别反映运动物体两个不同本领的物理量

动量只表达了机械运动传递的本领，它是描述物体机械运动状态的物理量。机械运动所传递的不是速度，而是物体的动量。对于给定的物体（质量不变），如果其运动的速度不同。则其机械运动传递的本领也不相同；对于不同质量的物体，即使其运动的速度相同，则其机械运动传递本领也会不相同。所以物体机械运动传递的本领不是用速度来表示，而是用动量来描述。即使动量的大小相等，由于运动的方向不同，其机械运动传递的结果也会不相同，所以动量是矢量，其方向与瞬时速度的方向一致。由于速度是状态量，所以动量也是一个状态量，通常所说的动量，总是指某一时刻或某一位置时物体的动量。

动能只表达了某一时刻物体具有的做功的本领，它也是描述物体运动状态的物理量。对于给定的物体（质量不变），如果其运动的速度的大小不同，则其做功的本领也不相同；对于不同质量的物体，即使其运动的速度相同，其做功的本领也不相同。所以运动物体做功的本领不能用速度来表示，而是用动能来描述。对于给定的物体（质量不变），当物体的运动快慢改变时。其动能也随之改变，且某时刻物体的动能仅由该时刻物体运动速度的大小来决定，跟速度的变化过程无关。不管物体的运动方向如何，只要其速度的大小不变，质量不变，物体所具有的做功的本领就相同，所以动能是一个标量。当物体的动量发生变化时，其动能不一定发生变化，而物体的动能发生变化时，其动量一定发生变化。

二、动量和动能是分别量度物体运动的两个不同本质的物理量

在16～17世纪，当时基于运动总量总是守恒的哲学思想，人们开始寻找量度机械运动的合适物理量来表达运动量的守恒。速度虽然是描述物体运动状态的物理量。如果用速度来量度机械运动，十分明显，它是不能反映运动量的守恒，于是从不同的角度先后提出了用动量和动能两种方法来量度机械运动。

动量是物体运动的一种量度，它是从机械运动传递的角度，以机械运动来量度机械运动的。在机械运动传递的过程中，机械运动的传递遵循动量守恒定律。动量相等的物体可能具有完全不同的速度，动量虽然与速度有关，但不同于速度，仅有速度还不能反映使物体获得这个速度，或以使这个速度运动的物体停下来的难易程度。动量作为物体运动的一种量度，能反映出使给定的物体得到一定速度需要多大的力，作用多长的时间。

动能也是物体运动的一种量度。它是从能量转化的角度，以机械运动转化为一定量的其他形式的运动的能力来量度机械运动的。在动能的转化过程中，动能的转化遵循能量的转化和守恒定律，动能作为物体运动的一种量度，能反映出使给定的物体得到一定速度需要在多大的力的作用下。沿着力的方向移动多长的距离。

三、动量和动能的变化分别对应着力的两个不同的累积效应

动量定理描述了冲量是物体动量变化的量度。动量是表征运动状态的量，动量的增量表示物体运动状态的变化，冲量则是引起运动状态改变的原因，并且是动量变化的量度。动量定理描述的是一个过程，在此过程中，由于物体受到冲量的作用，导致物体的动量发生变化。

动能定理揭示了动能的变化是通过做功过程来实现，且动能的变化是通过做功来量度的。动能定理所揭示的这一关系。也是功跟各种形式的能量变化的共同关系，即功是能量变化的量度。各种形式的能是可以相互转化的，这种转化也都是通过做功来实现的，且通过做功来量度。由此可见。动量和动能的根本区别，就在于它们描述物理过程的特征和守恒规律不同。每一个运动的物体都具有一定的动量和动能，但动量的变化和能量的转化，完全服从不同的规律。因此要了解和区别这两个概念，就必须从物理变化过程中去考虑。

动量的变化表现着力对时间的累积效应，动量的变化与外力的冲量相等；动能的变化表现着力对空间的累积效应，动能的变化与外力做的功相等。动量与冲量既是密切联系着的、又是有本质区别的物理量。动量决定物体反抗阻力能够移动多久；动能与功也是密切联系着的。又是有本质区别的物理量，动能决定物体反抗阻力能够移动多远。

例1　一物体在恒力的作用于从静止开始在水平面内做直线运动，若用t表示物体运动的时间、s表示物体运动的位移，则下列叙述中正确的是（
）

A．质点在t时刻的动能与t成正比

B．质点在t时刻的动能与s2成正比

C．质点在t时刻的动量与t2成正比

D．质点在t时刻的动量与成正比

解析　由动能定理和动量定理可知，在恒力作用下，从静止开始做直线运动的物体在t时刻所具有的动能就等于物体在时间t内动能的变化，即对应于时间t内合外力所做的功。故此时物体所具有的动能反映了力对空间的积累效果，动能的大小跟位移成正比；同理，在恒力作用下，从静止开始做直线运动的物体在t时刻所具有的动量就等于物体在时间t内动量的变化，即对应于时间t内合外力的冲量，故此时物体的动量反映了力对时间积累的效果，动量的大小跟时间成正比。在题目给定的选项中，选项ABC跟上述关系相违背。由运动学规律可知，所以，选项D是正确的。

虽然动量和动能有着根本的区别。两者既不能混淆，也不能互相取代，但动量和动能都与物体的质量有关，两者从不同的角度描述了运动物体的特征，两者都是状态量，且两者的大小间存在关系式。

动量:在物理学中，动量是与物体的质量和速度相关的物理量。一般而言，一个物体的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势。
动能:指物体由于机械运动而具有的能量，叫动能。

动量=质量*速度
动能=1/2*质量*速度平方
速度牵涉到运动方向,
因此在运动方向相反时计算动量时会互相抵消.
动能因速度平方而永远为正值,
因此不会有互相抵消的现象.
让我们假想一个实验来看看动量和动能如何同时守恒:
假设在一条无磨擦力的轨道上有两颗钢球,
右边的钢球静止,
重2公斤,
左边的钢球有1公斤重,
以每秒3公尺的速度撞向右边的静止钢球.
撞击
后会使右边被撞的钢球以每秒2公尺的速度弹向右边,
左钢球以每秒1公尺
的速度弹回左边,
整个系统撞击前后的动量与动能如下:
=========================================================
刚发射时左钢球的动量:
1
Kg
*
3
M/S
=
3
KgM/S
右钢球静止,
动量=0
撞击之后左钢球的动量:
1
Kg
*
-1
M/S
=
-1
KgM/S
(因为它弹回,
方向相反,
故速度有负号)
撞击之后右钢球的动量:
2
Kg
*
2
M/S
=
4
KgM/S
-1+4=3,
撞击之后两球的动量和恰等于刚发射时左钢球的动量
3
KgM/S
=========================================================
刚发射时左钢球的动能:
1/2
*
1Kg
*
(3M/S)^2
=
4.5
焦耳
右钢球静止,
动能=0
撞击之后左钢球的动能:
1/2
*
1Kg
*
(-1M/S)^2
=
0.5
焦耳
(这里速度负号
因为平方而永远为正)
撞击之后右钢球的动能:
1/2
*
2Kg
*
(
2M/S)^2
=
4
焦耳
0.5+4=4.5,
撞击之后两球的动能和恰等于原先左钢球的动能
4.5
焦耳
=========================================================
可看到计算中动量因左右钢球的方向不同而巧妙的相消,
使得在
动能守恒的情况下动量也会守恒,
虽然两者的定义公式不同.

动量p＝mv 动能Ek＝1/2m△v的平方

我是一名学理工数学的大一学生，高中是学理科的，对基本物理知识和微积分比较了解，下面我简单的谈一下我对你的问题的看法，希望对你有所启发。
首先你要明确功、动能是标量，只有大小没有方向，可以进行积分，而冲量、动量是矢量，既有方向又有大小，在空间上不能进行积分。
第二，两个矢量之积是标量。你所说的动能跟动量的关系E=p²/2m即属于牛顿经典力学，适用于宏观低速物体，微观粒子或接近光速的物体：E=mc²即爱因斯坦的质能方程；而p=mv适用于一切物体，此时动能跟动量关系则表现为E=p²/m。
第三，动能跟动量的关系只能表示为E=p²/2c或E=p²/c，而不能表示为p=(2mE)½或p=(mE)½。通俗的讲，由矢量变标量易，由标量变矢量难。道理很简单，矢量一平方方向就没了，而标量再开方还是标量，不可能变出个方向。

问题问的不是很清楚，内在联系太泛了。
任何一个物体他的动能和动量的绝对值是一一对应的，（能量与动量不对应，物体能量还包括势能设热能）。你可能把动量和动能放在了两个物体上来看了，
你给的推导过程不就是用了“能量的定义式：W=FS 和冲量定义式：P=Ft”公式推导式没错的啊