以《九章算术》为代表的中国古代数学无疑是东方算法化数学传统的基础，它们东西辉映，共同促进了世界数学文化的发展。中国数学通过丝绸之路传播到印度、阿拉伯地区，后来经阿拉伯人传入西方。而且在汉字文化圈内，一直影响着日本、朝鲜半岛、越南等亚洲国家的数学发展。

请参考：

《我与小学数学》读后感

作者：薛巧

吴正宪编写的《我与小学数学》一书，使我受益匪浅。它使我深深知道了小学教师的工作看似简单且辛苦\普通而平凡。而当你真正走到学生的内心世界，当你用整个心灵去拥有她的时候，才领悟到教师工作博深而丰富的内涵。“一切为了孩子”是教育思想的核心；“做孩子们喜欢的老师”应该是教师多年来努力追求的目标；“把小学数学教育的重心转移到促进学生的发展上来”应成为教师平日工作中自觉的教学行为。

教师要如何去做呢？我认为教师要找准每一节内容与学生生活实际的“切合点”，调动学生学习的积极性。在教学活动中，教师不仅是诱发学生学习解决现实问题的欲望，从条件、信息中选出需要的条件、信息，来解决现实生活中的问题，体验问题成功的快乐。所以我们要经常提供给他们所熟悉的生活经验，充分利用学生现有的知识经验和他们所熟悉的事物组织教学，使学生能较好地感知和理解所学的内容。

而在《我与小学数学》一书中看到：应以发挥学生的主体作用为主线。为此，我丛书中总结出了以下几点以便在今后的课堂教学中，自己尝试应用。

[1] 课堂上努力营造一个明主平等、宽松和谐的学习氛围。关于学习气氛，苏霍姆林斯基认为：儿童的思维同他的情感分不开，这种情感是发展儿童智力和创造力极其重要的土壤，学生只有在情感愉悦的气氛里，思维才会活跃。因此，课堂上关注每一位学生，鼓励学生课堂上发表不同意见，即使说错了，对学生思维中合理的因素也加以肯定，保护学生的自尊心，激发学生的自信力。鼓励学生课堂上提出问题，对教师的讲授、学生的发言，大家随时可以发问。对提问的学生给与表扬鼓励，这样就形成了课堂上生生、师生的互动交流。课
堂上还经常开展学习竟赛“最佳问题奖、最佳发言人”的评比活动，激发了学生的学习热情。

[2] 创设情境，激励学生主动参与教学过程。学生常常把自己当作是或希望自己是一个探索者、研究者和发现者。因此，教学中提供一些富有挑战性和探索性的问题，就会推动学生学习数学的积极性。例如书中举了这样的一例：在教学三角形内角和等于180°的知识时，教师请同学们事先准备好各种不同的三角形，并非别测量出每个内角的角度，标在图中。上课伊始的第一个教学活动就是“考考老师”。学生报出三角形两个内角的度数，请老师猜一猜第三个角是多少度。每次问题的抛出，教师都对答如流，准确无误。同学们都惊奇了，疑问由此产生，之后让学生自己动手实践发现规律。这样为学生创设猜想
的学习情境，让学生凭借直觉大胆猜想，把课本中现成的结论转变成为学生探索的对象，变学生被动学习为主动探索研究。

[3] 课堂上变教师讲授为学生讨论、合作学习，还学生学习的主动权。在教学应用题时，通过让学生读题，提问学生了解到了什么信息？还能想到什么问题，学生提出问题后，又分组讨论解决的方法，然后让学生交流。这样通过说题，学生对应用题的结构、解题思路理解得比较透彻。在教学计算题时，针对学生易出错的问题，课堂上先让学生动口说说错题的原因，再讨论解决的方法，然后再动手计算，这样减少了计算的错误。

[4] 多直观教学。根据低年级学生的思维特点，课堂上多采用版图、版画、
教具、学具等进行直观教学。在教学两位数加两位数的算法时，让学生操作，摆小棒，说算法。教学平面图形的特征时，课堂上引导学生自制学具，通过折、剪、拼等活动，让学生去探索和发现规律。

[5] 制做数学手抄报，让学生做数学。现在的学生见识广，获得知识的途径多，新课内容一看就会，老调重弹的复习课不愿意听。针对这种情况，让
学生把学过的知识整理成手抄报，帮助学生复习。有的学生将知识重难点、容易错的题整理出来，有的将自己学习的经验写出来，有的学生还将课外知识编辑进来等等，五花八门。学生在画、写、找、编辑等活动中，既复习和拓展了知识，又锻炼提高了动手能力。

[6] 鼓励学生留意生活中的数学，做好数学日记。 生活本身是一个巨大的数学课堂，生活中客观存在着大量有价值的数学现象。指导学生运用数学知识写日记，能促使学生主动地用数学的眼光去观察生活，去思考生活问题，让生活问题数学化。如， 学完乘除法的意义后，引导学生观察、思考生活中哪些问题可以用乘除法的知识来解决。阅读学生的日记，发现了学生的视野遍及生活
的各个方面。“星期天，妈妈买了一箱梨，我数了数，一共 12个。我想，每天吃2个，可以吃6天。”、“今天，老师布置写生字2页，每10行，每行10个字，一共要写200个生字。”、“爸爸下班回家，叫我去帮他买2瓶啤酒，每瓶3元，两瓶酒用了6元” ，……数学日记使学生更广泛地接触到现实生活，更细致地观察了现实生活。数学日记也拓宽了学生的眼界，培 养了他们运用数学的意识，增强了学生运用知识解决实际问题的能力。

由此可见，数学并不是靠老师教会的，而是在教师的指导下，靠学生自己学会的。在教学中教师要给学生创造情景、提供机会，给学生充足的时间和空间，让学生主动探究新知，在探究中发现规律、归纳规律。因此，我们在课堂教学中，多留些时间给学生，让他们动手操作；多留些时间给学生，让他们讨
论发表自己的意见；多留些时间给学生，让他们质疑问难。保证充分的时间和空间，让学生再课内交流、讨论、质疑。

总之，数学知识来源于生活，教师在数学教学中积极的创造条件，充分挖掘生活中的数学，为学生创设生动有趣的生活问题情景来帮助学生学习，鼓励学生善于去发现生活中的数学问题，养成运用的态度观察和分析周围的事物，
并学会运用所学的数学知识解决实际问题，在实际生活中尝试到学习数学的乐趣。更重要的是使学生感受数学与生活中的联系，即数学来自生活实际，数学又应用于生活，服务于生活。

最后，我也想引用李镇西老师在《爱心与教育》中的一段话作为结尾：“素质教育首先是充满感情的教育。一个真诚的教育工作者必须是一位真诚的人道主义者。一个受孩子衷心爱戴的老师，一定是一位富有人情味的人。”

古代数学给我们深深的启迪。

中国古代数学与西方数学有什么不同？

作者： e^iπ+1=0

中国古代对于世界的认识是循环闭合的体系，千变万化的现象背后存在着某种联系，它们相互依赖；而西方对于世界的认识是基于直链单向的因果，从一般的抽象化的概念与产生的衍生来解释特殊的现象。这两种思考导致了根本性的区别，那就是中国古代注重对于事物的理解，利用一个现象去解释另一个现象，发掘内在关联；而西方更注重于逻辑，建立一般理论将所有的现象统一于理论之下。进而我们能理解，为何西方可以诞生近代公理化，高度抽象化的数学体系，而中国数学则不成体系，以原始形态呈现在数学家面前。

基于以上理解，我们不难理解，虽然中西方数学的起源非常类似，都是基于对于生活实践中遇到的问题进行归纳和理性的处理，然而中国数学的发展一直在延续前人的研究传统，即以直观现象或实例为基础，并加以运用。

需要指出的是，西方近现代数学发展（从16世纪开始），与西方现代科学发展的传统，并非是直接继承从古希腊时期开始，由几何原本奠定下的公理化研究方法。事实上当我们考察无论是近代数学还是物理学的发展之初，都基于对经验事实的依赖和大胆的猜测与想象。从这一点上，中西方差异在于，西方率先使用一般的，抽象的方式来解释特殊问题，坚信世界所有的现象可以被统一在数中。不仅如此，他们善于从复杂的现象中归纳出“优美的性质”，并且坚信优美，简单的理论是世界的终极解释。所以16世纪初，数学与科学的蓬勃发展中，无不透露出对于这种朴素哲学观的贯彻。比如开普勒，早期的天文学，数学的探索者，在其重要著作《世界的和谐》中指出，将天文学与音乐完美结合在一起的可能性，并且被看作是世界的和谐。而这种朴素认识论正是西方近现代科学的开端。

第二个重要问题是数学体系的建立和推演。必须承认的一点是，在体系的建立和推演上，中西方数学早早地分道扬镳。以《九章算术》为例，从内容上，中国古代数学问题的核心在于对实际问题的解释和再利用，故而卷分类以“方田”，“粟米”，“衰分”“少广”，“商功”等等实际生活场景进行分类。但是从数学内容上，九章算术不仅处理了大量复杂问题，而且包含了重要的哲学思想（如极限，分割，组合等）。最为流传的例子即“祖暅原理”，即判断两个物体的体积相同，可用“幂势既同，则积不容异” 这一原则进行判断，并且利用这个原理求出“牟合方盖”体积（所谓“牟合方盖”是指相同的两个圆柱正交围出的立体形）而这个立体形的体积求解是无法用初等数学解决，严格来说应使用微积分才能完全解决。而从其论述中，我们能看到朴素的积分思想，也展现了古代数学家杰出的数学直觉。同时，在研究的领域上有极大的弹性，从初等代数，初等数论到初等几何学（基于现代数学的观点）中的各个问题都有涉猎，并且给出了认识解决问题的重要思考。如卷八方程篇的开篇问题，即利用方程组思想解决问题，而以西方数学观点来看，所利用的正是高斯消元法。 再如广为乐道的中国剩余定理，以及勾股定理，涉及到了初等数学中大量重要核心命题。但是，从推导上，我们所给出的叙述性解释为主，而并非推导和计算。事实上，在《九章算术》中，只有遇到实际例子和少数公式上会进行计算，而原理性内容作为理解出现。 在这种情况下，数学的发展仅仅依靠极少数数学家不加证明的洞察给出进步，对于体系的发展本身是致命的。

而在西方，数学的发展在初期也是大胆而富有想象力的，不过他们并没有停留于理解，而是用相对细致的逻辑链组织成数学语言表达出来。数学的活力最早是在艺术家的手上复活，无论是绘画（透视画法对射影几何的影响），音乐理论发展，激发了人们的思维。16,17世纪数学家的工作时常是不严谨，甚至也没有任何数学公理基础的保证，如欧拉关于很多无穷级数的处理，都是基于一些朴素的认识，从形式上获得灵感便不加证明的使用。这个阶段的数学，思想上的推动力其实与中国古代数学家一样，依赖于数学家的直觉进行研究。但是，之所以西方数学在经历相似时期之后有爆炸性发展，原因有二。其一，使用抽象符号对数学进行描述，使得数学从实际问题中解放出来，可以自由地组合，用简单方式刻画复杂事物，发挥想象力，不再受制于具象。其二，相对中国古代数学，西方数学家更重视逻辑链的建立，所以从因到果的过程更细致，为之后的研究打下坚实铺垫。而我们津津乐道的数学公理化与抽象化的工作都不是在早期完成，而是在18世纪开始被越来越多数学家重视。分析学的诞生事实上就是数学家对于精细逻辑链的探索，为微积分打下坚实理论基础，同时揭示了大量显然命题正确性的由来，使得人们对微积分体系认识更为深刻。与此同时物理学的蓬勃发展推动了大量计算技术的发展，将微积分应用至实际研究中去变成了一种共识。进入19世纪后，一方面微积分席卷了几乎原来所有的初等数学分支，另一方面近代代数学的发展提供了抽象工具，如群论，用以解释方程解而诞生的理论，所以接下来发展的数学分支变成了群论，复变函数论，几何学也焕发新的光芒。进入20世纪后，无论是公理化还是抽象化的工作都达到了顶峰，数学家意识到各个数学分支间是有紧密联系的，拓扑学，集合论，抽象代数的发展将零碎的研究和数学分支网罗在相互联系的，统一的架构中，真正成为一套体系。 从这一点上，中国古代数学传统是不可能演化出这样的体系的，其原因不仅仅在于认识论的不同，而是一个更深刻的问题。

在《世界的重新创造》一文中提出，由于中国文化并未有真正的文化移植而导致中国科学的发展注定是不够好的论点，我是完全支持的。其一，截然不同的文化交流和碰撞会给两个文明都带来新的启示。其二，西方的文字系统更适合抽象性思维，而汉语由于其强大的组合能力和良好的直观性导致并未产生新的符号系统对数学进行描述，故而也很难进行复杂抽象的计算与推导。但是笔者认为，关键问题在于，为何中国古代数学与西方数学体系为何没有发生碰撞。从历史时期上来说，中国数学发展和西方数学发展存在一个大的时间差。中国数学的研究发源早，公元三世纪就已经有杰出的数学成果（九章算术最早成书亦是此时，由刘徽编纂成书）。而古希腊数学虽然亦有杰出成就，但是明显影响覆盖的范围远远不到东亚，最多至两河流域，再传入印度境内，而那已经时至公元八世纪。唐宋数学高度发达，并且九章算术逐渐演变为东亚的最重要的数学教科书。而在同时期的欧洲却在经历中世纪，以教会对世界解释权的垄断为主。一直到十三十四世纪时，经由印度，阿拉伯地区将数学原籍传回西欧社会，西方数学才开始发展，然而此时的中国是由蒙古人所统治的时期，数学发展明显受阻。进入十五世纪后，数学在欧洲开始复兴，进入蓬勃发展期，但中国数学却仍不温不火，并且越来越具有偏向性，在这一时期决定了中西方数学的差距。纵观来看，中西方数学发展的断档期对于双方的交流有很强的阻碍，没能在同一时期站在大致相似的高度上形成交流。 从政治上来说，中国古代数学的存在意义实则是为政治服务，所以研究注重实用性，偏向性，对于实际问题的解决很有一套，但是对建立系统性理论没有太大的热情。相较于西方对数学形而上的认识，中国的数学“合为时而用”，是可以“货与帝王家”的才能，如果没有政治支持，那么数学就没有发展土壤。也正因如此，中国的数学家也少之又少，数学文化的传播也并不是随心所欲。重要的，高级的计算技巧是不可能流入民间，自然也不可能催生中国整体上的数学发展。同时，即使在一部分重要的文献如论语，老子，周易等先后传入西方世界，然而东方的数学智慧却未曾到欧洲传播。而从研究方式和工具上，中国数学重视计算，重视实际结果。比如历法上的成就，所依托的正是极高的计算技巧。而这些技巧所依托的符号系统，相较于任何古代数学文明都是先进的。因为简易，而且是组合式的，再通过归纳，简写（比如百，千，万，亿的概念产生，再比如百万，千万，亿万这样的组合概念的产生），我们可以方便直观的表示极多数字，这对计算技巧的研究很有帮助。所以即使西方的符号体系，数字体系传入中国，但是在计算上的优越性必然导致这些不能取代千年沉淀的文字。

而今有很多对比中西方科学发展的探讨，很多的目的在于给中国古代科技科学正名，提振民族自信心，这一点无可厚非，但是我们应本着客观公正的态度探讨。如果将核心观点始终立足于两套文化系统的不同上，进而找到一个平等的平衡点，笔者认为大可不必。无论是以前提出的“倘若假以时日中国也能发展到西方同样程度的科学”，还是现在提出的“中国的科学广义上是格致学，生命博物学”，其实都是在避重就轻地谈问题。且不论西方列强以武力手段打开中国的大门是否是导致中国本土科学流产的原因，就算是在双方互不干涉的前提下，科学的基础学科数学的发展速度就不在一个层次上。中国的数学发展是累积式的，线性的，是稳步发展的，但是西方数学的发展是爆炸式的，好比指数函数，只会发展的越来越快，这就是巨大差距。再有从广义科学角度上切入的观点，基本是上升至哲学层面的认识，不能仅仅停留于探讨不同的思路和想法就长舒一口气，认为找到了平等就可以安心一些。对于现在的学习科学，研究科学的中国人来说，如何汲取古代智慧是非常重要的。这绝不是要抛弃科学的方法论，而是用不同于西方机械唯心论的角度认识世界。值得借鉴的一案便是数学家吴文俊所发展的“吴方法”。吴文俊教授从古代算法思想入手，通过构建程序证明了大量初等几何学，射影几何学内容，取得了非凡的成果。而在科学分支庞杂林立的现代，大体量的科学系统其实反而成了限制人们继续探索的阻碍，如何从中国古代的整体观来认识科学，是一个很可能成功，也极为重要的课题。某种程度上，我们应该庆幸中国的哲学思想与西方并立，或许将带给世界最重要的启示。

（一） 中国的起源与早期发展
据《易．系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。
1、 算筹
算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
用算筹记数，有纵、横两种方式：
表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理〔西方称勾股定理〕的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促进了

中国有悠久而光辉的历史， 在科学领域曾创造过高度文明， 对人类作出过巨大贡献， 许多发明对于世界历史都产生过深远影响。 数学作为自然科学的基础是人们理解自然的有力武器， 数学的发展对科技进步具有巨大推动作用。 我国数学是自己创造独立发展的， 在世界数学史上有独特的成就和贡献 一、 十进位制记数法和二进制记数法 马克思称十进制记数法是“最妙的发明之一”。 中国是最早的采用十进制记数法的国家。 早在殷代之前， 我国就开始用十进制进行记数。 据考证， 大约在十八世纪至五世纪， 我国已经开始用“算筹” 开始记数。 算筹不仅采用十进制， 而且严格按位置分别表示不同单位，魏晋数学家刘徽在公元 260 年左右还创造了十进小数。 他说“……凡开积为方， ……求其微数， 微数无名者， 以其为分子， 其一退以十为（分） 母， 其再退以百为母， 退之弥下， 其分弥细……。” 我国常见的“八卦图” 是世界上最早的一种二进制记数法， 八卦组合与今天电子计算机所采用的二进制意义完全相同。 二、 分数 我国的古代数学很早便应用了分数。 早在殷代， 我们的祖先就已经知道一年的日数是 365 1/4 天。《左传》 中讲到国王给诸侯封地的规定时说： “大不过三国之一， 中五之一， 小九之一。”《淮南子· 天文训》 即载：“一月二十九日九百四十分之四百九十九。” 从中可以看出， 当时我国已经运用带分数除法。 《周髀算经》 之中使用了相当复杂的分数算法。 在《九章算术》的“方田” 章中也详细介绍了分数的四则算法。 数学家刘徽对分数的基本性质从理论上做了明确阐述。 他指出， 分子、 分母同乘或除以一个数时其值不变； 他还发现了分数通分和分数除法的简便规律。 三、 最古老的几何学《墨经》 在西方数学史中， 一直把欧几里得的《几何原本》 誉为世界上最古老而系统的几何学。 的确， 《几何原本》 是历史上发行最广泛的几何教科书， 但实际世界上最古老而系统的几何学仍出自中国。 在欧几里得之前 1 个多世纪， 我国战国时期著名学者墨家创始人墨翟及其学生的著作《墨子》 之中， 即包含几何学系统理论。《墨子》共 71 篇， 现存 53 篇，《墨经》 是其中的重要部分， 内容包括《经上》、《经下》、《经说上》、《经说下》、《大取》、《小取》 6 篇。《经上》、《经下》 两篇记录了一系列几何学定义、 原则和定理， 《经说上》、《经说下》 则给这些定义、 定理做了解释和补充。 如果与欧几里德的《几何原本》 作对照， 凡是《几何原本》 上说到的， 《墨经》 几乎都涉及到了，