克莱因瓶被人们称为神奇的瓶子，克莱因瓶的结构也可以简单的表述为，这个瓶子底部有个洞，延长了瓶子颈部位置后，扭曲进入瓶子内部，最后将底部的洞相互连接起来。克莱因瓶是数学领域的一种概念模型，是一个永远装不满水的怪瓶，被著名数学家菲利克斯·克莱因首次发现，现实中所造出的克莱因瓶只是勉强在三维空间里体现的产物，因为真正的克莱因瓶实际只存在四维空间里，可以说没有内外之分，这也就意味着毫无边界，当然就永远也装不满水。

克莱因瓶是指一种无定向性的平面，就像二维平面一样，没有内部和外部之分，让克莱因瓶成为一个不可定向的拓扑空间。它是一个没有边界，不分内外的物体，看表面是永远没有终结的，一只小虫子都可以从瓶底沿着瓶面直接飞到外面，完全不用穿过瓶体。现实中所造出的克莱因瓶只是为了人们能在三维空间看出这个瓶子，而勉强将瓶颈穿过瓶身所造的瓶子状物体，和理论上的克莱因平面结构其实不完全一样，真正的克莱因瓶是需要在四维空间中才能表现出来那种曲面。

相信莫比乌斯环大家都听过吧，为了更好去理解这个概念，就用莫比乌斯环来打个比方，克莱因瓶就是三维空间的莫比乌斯环，莫比乌斯环就是二维空间的平面结构经过180度旋转，和另一端连接起来，只能在三维空间中体现。而克莱因瓶就像三维空间的莫比乌斯环，只能体现在四维空间。

有人曾用制造出来的克莱因瓶试验过，据说是能够装满水的，所以克莱因瓶理论就经常被人质疑不够真实，但是别忘了我们存在的是三维空间，而我们所能看到的克莱因瓶并不是真正意义上的克莱因平面，只有身处在四维空间中，克莱因瓶才能实现不通过瓶身和瓶底的洞相接，完成毫无边界的不分内外，这样的话，当然水才会是永远都装不满的。

克莱因瓶是一个不可定向的二维紧流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧流形。如果观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑－－克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。
事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。它并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环。
如果莫比乌斯带能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。因为在制作莫比乌斯带的过程中，我们要对纸带进行180°翻转再首尾相连，这就是一个三维空间下的操作。理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”应该是在二维面中，朝任意方向前进都可以回到原点的模型，而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进。但是只有在两个特定的方向上才会回到原点，并且只有在其中一个方向上，回到原点之前会经过一个“逆向原点”，真正理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”也应该是在二维面上朝任何方向前进，都会先经过一次“逆向原点”，再回到原点。而制作这个模型，则需要在四维空间上对三维模型进行扭曲。数学中有一个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，克莱因瓶和莫比乌斯带变成了拓扑学中最有趣的问题之一。莫比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。
三维空间里的克莱因瓶

一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。在拓扑学中，克莱因瓶（Klein Bottle）是一个不可定向的拓扑空间。克莱因瓶最初由德国几何学大家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein) 提出。

在1882年，著名数学家菲立克斯·克莱因发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。

和平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它和球面不同 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。

在1882年，著名数学家菲利克斯·克莱因（Felix Klein）发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个像球面那样封闭的，也就是说没有边的曲面。

但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就像是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，就会得到一个环面。

克莱因瓶的原理是利用瓶颈通过弯曲穿过瓶子壁之后，瓶口直接和瓶的底部连接在一起，从而使这种瓶子没有内部与外部之分，成为了一种无定向性的平面，所以永远也装不满。在数学领域，克莱因瓶是指一种无定向性的平面，如二维平面一样没有“内部”和“外部”之分。

克莱因瓶是一个在四维空间中才能真正表现出来的曲面，也就是说克莱因瓶的瓶颈是先穿过了第四维空间然后才和瓶底圈相连的，并不穿过瓶壁。

克莱因瓶的发明来源。

在1882年，著名数学家菲利克斯·克莱因发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个像球面那样封闭的，也就是说没有边的曲面。克莱因瓶的结构主要表现为，一个瓶子的底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。

但是它却只有一个面。克莱因瓶的确就像是一个瓶子，但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，就会得到一个环面，这也就是著名的克莱因瓶。

以上内容参考 科普中国——古怪的曲面—克莱因瓶

克莱因瓶是什么原理？一个四大洋都无法将其填满的瓶子