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广义相对论——度规张量浅谈

发布时间: 2021-04-12 10:51:15 来源: 励志妙语 作者: 星图 栏目: 经典文章 点击: 111

在广义相对论中有一个核心方程：爱因斯坦引力场方程(1)它张这个样子。如果我们交换动量张量与里奇张量，并把引力常数取倒数，等式依...

广义相对论——度规张量浅谈

在广义相对论中有一个核心方程：爱因斯坦引力场方程

R_{munu}-(1/2)Rg_{munu}=(8pi G/c^{4})T_{munu} (1)

它张这个样子。

如果我们交换动量张量与里奇张量，并把引力常数取倒数，等式依然成立

T_{munu}-(1/2)Tg_{munu}=(c^{4}/8pi G)R_{munu}

(1)式左边的部分表示时空几何，它由里奇张量 R_{munu} 、里奇标量 R 、度规张量组成 g_{munu} 。等号右边的表示物质，它由动量张量 T_{munu} 和一个特定常数的乘积组成

这里我们就先来简单的、形象直观的讲一讲，度规张量是个什么东西

剩下的后面再说哈

度规张量

前面在谈测地线方程是提到过克里斯托弗符号 Gamma_{alphabeta}^{gamma} ,它的计算公式是 Gamma_{alphabeta}^{gamma}=(g^{gammagamma}/2)(dg_{sigmaalpha}/dx^{beta}+dg_{gammabeta}/dx^{alpha}-dg_{alphabeta}/dx^{gamma})

其中类似于 g_{alphabeta} 的东西就是度规张量(metric tensor)

想象一个平面直角坐标系，在这个坐标系上取两个非常接近的点，如果我们知道这两个点的坐标的话，那么想要计算这两个点的距离，自然就要用到勾股定理（毕达哥拉斯定理）

我们把这两个点的坐标差分别记为 dx^{0} , dx^{1}

那么这两点的距离平方就是 (ds)^{2}=(dx^{0})^{2}+(dx^{1})^{2}

但如果坐标系网格发生变动的话，这个公式就不适用了。在时空中坐标系的网格一般都是不规则的，所以我们需要一个更一般的表达式以适用于任意网格

距离的平方还可以写成所有两条边的组合与某个数字的乘积之和

(ds)^{2}=a_{1}dx^{0}dx^{0} +a_{2}dx^{0}dx^{1}+a_{3}dx^{1}dx^{0}+a_{4}dx^{1}dx^{1}

这些数字取决于网格的形状

在标准平面直角坐标系中， a_{2},a_{3}都为零 a_{1},a_{4} 都为一，所以就有了 (ds)^{2}=(dx^{0})^{2}+(dx^{1})^{2}

把这些系数放在一起，构成一个表格

dx0dx1
dx0a1a2
dx1a3a4

有这些数字组成的表格，被称为：度规张量，通常用g表示

g=

g00g01
g10g11

距离的平方就可以写成这种形式

(ds)^{2}=g_{00}dx^{0}dx^{0} +g_{01}dx^{0}dx^{1}+g_{10}dx^{1}dx^{0}+g_{11}dx^{1}dx^{1}=g_{munu}dx^{mu}dx^{nu}

这个式子可以表示矢量的莫得平方

我们将坐标之差替换为矢量的分量得到

left| （vrightarrow） right|^{2}=g_{munu}v^{mu}v^{nu}

又因为在时空中，沿着世界线上的速度的模是光速

所以，它又可以写成这样的形式

c^{2}=g_{munu}v^{mu}v^{nu}

度规张量可以把抽象的数字坐标描述转化为距离和角度的度量

时空网格的形状就可以用度规张量来表达，而度量时空网格形状的变化也就可用用度量度规张量的变化来研究，而基矢的变化与时空网格的变化直接相关，而克里斯托弗符号就是描述基矢是如何沿着时空网格的变化而变化地

因此，克里斯托弗符号就可以用度规张量来描述，能够描述克里斯托弗符号了之后就可描述测地线方程，进而在时空中对物体的运动做出预测。

可见，度规张量在广义相对论中有着相当大的作用哈

那么度规张量又与什么有关呢？

且看下回分解

本文标题: 广义相对论——度规张量浅谈
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