史教授从新世纪的课程与教学改革着手，从知道学生学习的起点、指导学生认知的过程，以及明确学生学习目标的教学三方面进行了细致地讲述了《实施“学为中心”的教学》。
      一、新世纪的课程与教学特征

    （一）形式上： 实现了教学大纲到课程标准的转变。

    （二）理念上： 实现了以知识为本到以人为本的转变。

      1999年的教学大纲以知识为本，关注的是教哪些内容、教到什么程度，此时的目标为双基目标，即：基础知识（概念的记忆与命题的理解）扎实；基本技能（计算的技能和证明的技能）熟练。→知识靠记忆，技能靠训练（记忆会忘记，训练会生疏）

    （三）目标上： 新课程，将二维目标扩充为三维目标，即：三维（知识技能、过程方法、情感态度价值观）、四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）、四能（分析问题、解决问题、发现问题、提出问题）→核心素养。

    （四）课堂上： 关注教师如何教→关注学生如何学（学为中心）

      什么是知识？

      知识是一种结果：可能是思维的结果，也可能是经验的结果。（以知识为本的教育是一种结果的教育，缺少智慧，智慧应该表现于过程。）

      教育形式的三个阶段

      经验的教育（过去）：重视过程的教育（实践、感悟）

      知识的教育（现在）：重视结果的教育（书本、理解）

      智慧的教育（未来）：重视结果+过程的教育（书本+实践  理解+感悟）

      数学教育的终极目标 （与人的行为有关）

      会用数学的眼光观察世界

      会用数学的思维思考世界

      会用数学的语言表达世界

    义务教育阶段的十个关键词

      数学眼光：符号意识、数感、几何直观、空间观念（数学抽象，直观想象：数学具有一般性）

      数学思维：推理能力、运算能力（逻辑推理，数学运算：数学具有严谨性）

      数学语言：模型思想、数据分析观念（数学建模，数据分析：数学具有广泛性）

      科学素养：应用意识、创新意识。

      二、知道学生学习的起点

      知识共分为三种：不用教就会的知识、教了也不会的知识、教了就会的知识。教师主要传授的是教了就会的知识。“学为中心”教学首先要思考的问题是：学生学习的起点是什么？

    （一）学生学习的起点

      学生学习的起点包括：知识起点和今天的重点。知识起点就是学生已经知道的和可能知道的，另外今天的教学重点必将成为孩子们的思维起点。

    （二） 数学源于对现实世界的抽象

      以前，倡导“教为中心”，主要以教师经验、知识为主，教师教什么，学生就学什么。如今，大力推崇“学为中心”，学生懂了吗？教师旨在运动各种手段教会学生。

      康德：人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。（读了康德的话，我明白了时间和空间是认识世界的先验基础）

      胡塞尔：几何学上的存在，并不是心理上的存在，它并不像个人的东西在个人的意识领域中那样的存在，它是对“每个人”都客观地存在着的那种存在。（理念客观性）

      （三）本能（不用教就会）

      数学的概念和计算方法都是人抽象的结果，这些结果得到人们的共识。人之所以能够抽象、能够达成共识思维的起点是本能。对于数学抽象而言，两个本能是最重要的，是后续数学思维教育、学习的起点。即：对数量多少的感知、对距离远近的感知。

      三、知道学生认知的过程

      数学的研究源于对现实世界的抽象，数学抽象的对象主要是数量与数量的关系，图形与图形的关系。

      数学抽象：舍去事物的一切物理属性，得到数学的研究对象。帮助学生学会抽象，这就是符号意识。

    （一）数量与数量关系的抽象

      得到自然数和自然数之间的关系，得到自然数的加法。思维的出发点：数量关系多少的感知是人的本能。

      低年级：对应的方法 （感悟抽象的层次性）

      例子：用对应的方法认识数

      第一步：对数量本身的抽象：感性具体→感性一般

      三个苹果、三个桃子→□□□ 

      四个苹果、四个桃子→□□□□

      形式上去掉了后缀名称，实质上去掉了事物的现实背景

      （本质：四个比三个多，三个比四个少：从本能发展到感性）

      第二步：从数量到数的抽象：感性一般→理性具体

        □□□→3

        □□□□→4

      在去掉现实背景的基础上，进一步舍去事物的物理属性

      第三步：从数到字母的抽象：理性具体→理性一般

      用字母表示数

      舍去就事论事的数学，得到一般表达的数学

      高年级：逻辑的方法 （用逻辑的方法认识大数，认识运算）

      史教授指出学习大数不应该是从乘法中习得，如：是个千是一万。而应该是一个一个大起来，一个个数上去。

    （三）图形与图形关系的抽象

      我们生活在三维空间，对一维、二维以及四维以上空间都无法直接感知，但可以通过类比对这样的空间进行想象。

      点是0维，线是一维，面是二维，体是三维空间。

      如何理解平移、旋转、轴对称？是图形运动的结果，需要参照系。

      平移：参照系是一条射线。所有点到射线距离不变，沿射线方向移动相同距离

      旋转：参照系是一条射线。所有点到射线距离不变，相对射线移动相同角度。

      轴对称：参照系是一条直线。所有点翻转到直线的另一边，每一点到直线距离不变。

      四、明确学生学习目标的教学

      学习目标、四基、四能；

      涉及人与自己、人与工具、人与社会；

      等号作用：传递性、量相等。

      在本质上，精算是对数的运算，估算是对数量的运算。

      以“学为中心”的教学是“以学生发展为本”教育理念的具体体现，对教师提出了更高的要求。要求教师不仅要关注自己如何教，更要关注学生如何学。我认为可行的做法应该是在课前要进行学情了解，课中关注学生在学习中的兴趣、能力与价值的获得，课后要有一定的评价，让教学成为学生兴趣所趋、能力可及、成长有益的过程，无论内容还是形式。

      2022年4月21日，义务教育新课标正式颁布，并于2022年秋季学期开始执行。各学科立足核心素养，对教育教学提出了全新的要求。
      其中数学学科新课标提倡用数学的眼光、思维与语言来拓展数学核心素养的内涵。数学新课标有哪些亮点？一线教师如何从数学的角度来理解和表述核心素养？教育部义务教育数学课标研制组组长史宁中教授就以上问题进行全面解读。
      21世纪中国的基础教育发生了巨大变革，本世纪开始的基础教育的改革，在本质上就是课程标准如何制定和落实的问题。课程标准的修订已有近20年时间，义务教育数学课标修订之后的版本整体呈现三大亮点，并坚持落实两大根本任务。

      拓展课程目标。过去传统教学目标是双基，后来我们发现双基不够，拓展到四基，加上了基本思想和基本活动经验。过去强调分析问题和解决问题，但是到了2021年左右，中国已经提出培养创新性人才，因此光有分析问题和解决问题能力是不够的，因此增加了发现问题的能力和提出问题的能力。
      丰富课程内容。2001的课程标准中没有几何的概念，用空间与图形来表达，后来我们把它改成图形与几何，并且增加了若干个基本事实，使得几何证明成为可能。数学教育一直存在一个问题——数学的证明只有几何证明而没有代数的证明，课程标准中只有代数的基本事实而缺少几何的基本事实。大家都认为不从基本事实出发的证明就不是证明，因此刚颁布的课程标准在此基础上增加了两个基本事实，一个是等量相等，还有一个就是等式的基本性质。
      强调核心素养。2021年版本的课标已经把国家一直所说的数学的三大能力，运算能力，推理能力和空间想象力，拓展为10个核心词，在数学上是8个核心词。可以看到除了保持这些之外加上了符号、意识、数感、抽象有关的核心词，这是很重要的一个变化。传统的数学教育不强调抽象，但是对于数学来说抽象是极为重要的，因为数学的结论是看出来的，不是证明出来的，因此所有学科对培养学科的直觉是极为重要的。
      数学的基本思想是指什么？第一就是学习数学一般愿意给一个思维的原则，数学基本思想是数学的产生与发展所必须依赖的思想，学习过数学应当具有的思维特征是抽象推理和模型，通过抽象使得现实世界的事情到了数学内部，因为通过抽象得到了数项研究成果，抽象的主要对象是数量与数量的关系，图形与图形的关系，形成了研究对象和研究对象之间的关系，用定义符号来表达。
      数学自身的发展是通过推理而得到的，数学的结论也通过推理而得到。推理主要分两类，一类是通过归纳类比来得到结论，还有一个是通过演绎的方法论证结论。我写过一篇文章论证，无论是归纳类比还是演绎推理都是有逻辑性的。
      我把逻辑定义为具有传递性的推理形式，就论证了归纳、类比和演绎都是有传递性的。因此数学之所以有严谨性就是因为无论得到结论的过程还是验证结果的过程都是有逻辑的。第三个就是模型，数学通过语言构建了通往现实世界的桥梁，因此数学返回现实世界是通过模型来布局的，很多学科也采用了数学语言来表示某个领域的性质、关系和规律。
      这次课标修订有两个根本任务，也是所有学科都必须完成的任务。
      第一是立德树人。教育部04年的文件是通过核心素养的落实来完成立德树人的根本任务，并且要求高中课程标准，就应该落实核心素养，用核心素养指导课程标准的实施始终。义教也提出了这个要求，因此我们这次课标修订有一个任务就是如何落实核心素养。
      第二是实现学科融合，这是一个世界潮流。义务教育阶段不要把学科分得很细，要把科学学科包括自然科学学科等与数学有机融合。对于数学来说需要完成5件事情：

    （1）学段的划分。关于学段的划分是一件很难的事情，2021版课标分了两个学段，一到三年级一个阶段，四到六年级一个阶段。其实比较合理的是一二年级一个学段，三四年级一个学段，五六年级一个学段。

      对于义务教育来说有个基本原则，就是教育要适合学生的身心发展规律。小学一二年级的孩子不太适宜学数学，因为他说话都说不明白；针对四、五年级的学生，仔细调查一下就会发现，四五年级的孩子在思维过程中有一个很大的分水岭，五年级的孩子似乎就对一些抽象的东西多多少少能够理解一些。因此学段划三个学段比两个学段更加合理，要根据学生的心理素质来定。

    （2）把四基四能与提倡的核心素养怎样有机结合。

    （3）加强几何直观、提升数学素养的前提下，如何调整课程的结构与内容。

    （4）在综合与实践里如何融入跨学科的知识和传统文化。

    （5）最重要的一件事情，就是如何体现数学的一致性。可能很多老师和同学不太知道一致性目前存在的问题是什么，我稍微来阐述一下。
      一个是现在小学数学最大的问题是数的认识缺乏一致性，就是缺乏一个数学化的过程。整数怎么认识？通过数量；分数小数怎么认识？通过分米、厘米；而分数是强调等分，这里没有一个共同的东西，能把这三个数串联起来。因此在学习分数的时候，没有强调分数的单位。这样的问题会出在比较大小上，例如1/2:1/3大，道理是什么？是分子相等，所以分母大分数小。事实上对于分数来说不应该存在这样的道理，应该是在同样的单位下才能比较大小，因此1/2和1/3比较大小，必须得要同样的单位，即变成3/6和2/6，3/6比2/6大，这样就可以得到1/2比1/3大。

      第二是数的运算缺乏一致性。举例说明，分数和小数的除法是小学数学的重点和难点，但是各讲各的理。分数除法用包含除的原则来讲，比如一包含三个1/3，所以1÷1/3=3，那么4÷1/3怎么办？变成了4×1/3除上这个，然后1÷1/3=等于3，所以4÷1/3=4×3，事实上这个道理是很深的道理；分数除法用商不变的方法，就是0.4÷0.02，扩大100倍不变，得到的是正确的结果。为什么商不变就是对的？举的例子都是实数的例子，都是整数的例子，整数例子为什么对小数好使？这是个问题。

      以上两点使得学生认为数学分了好多样，整数的数学、分数的数学、小数的数学。运算也有好多样，有整数运算、分数运算、小数运算。这样不仅仅是把学生的思维搞乱，更重要的是耽误了很长时间。弗莱登塔尔早就看出了这个问题，并提出一味地依赖具体情境会使得除法的问题变得更加复杂。由于教师与教科书的编写者对于如何从直观分数进展到算法的分数缺乏认识，使实际问题更加恶化。
      因为立德树人的根本任务没有变，所以核心素养要涉及到小学、初中与高中，我想很可能未来将涉及大学、研究生，可能还会指导老师、研究者的素养。理解和表达核心素养我认为必须具备三个基本特征，供大家参考。
      保持内涵的一致性。小学、初中与高中的核心素养不能割裂开来，核心素养应该是从一到终，每一个学习过数学的人都应该具有的、但又是终极的、永远达不到的。
      呈现过程的阶段性。每一个不同的学习阶段核心素养应该有不同的表现，与身心发展有关、知识储备有关、与经验积累有关。
      表述应该有整体性。要既有数学的特征，又有数学教育的特征。更具体的说，要具有学科的思维特征，还有心理学的特征与认知的特征。
      核心素养现在定义为“是数学教育的、与人的行为（思维、做事）有关的终极目标；是学生在本人参与的教学活动中，逐步形成发展的；是经验的积累、过程目标的拓展、四基的继承发展”，进而可以把核心素养表述为“会用数学眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”。这样的表述既有数学本身的特征，也有教育所要描述的认知方面的、心理学方面的特征。
      现在的核心素养跟原来我曾经说的数学思想相比包含的东西更多了，我们来具体看一下。

      什么是数学的眼光？为什么要观察？因为数学为人们提供了一个认识与探究现实世界的观察方法，因此具有了数学的这种观察方法，学生就能够直观的理解数学的知识及其背景，能够在日常生活中和其他学科中发现数学，能用数学的方法研究其他领域的事物，并且能表示出这些研究对象和他的关系。具有这种视野，他就能够发现有意义的数学问题，引起数学探究。情感态度价值观方面能够发展好奇心、想象力和创新意识，在这个意义上它比数学的抽象更加上位。
      什么是数学的思维？数学为人们提供了一种理解和解释现实世界的思考方法。通过学习，学生能够理解数学的基本概念、法则的发生与发展的过程，知道数学基本概念之间的关系，知道数学与现实世界的关系，能够合乎情理的理解数学的一些结论，能够用数学的方法探究现实世界的规律，能经历一个数学再发现的过程，能够培养批判性思维，能够培养实事求是的科学态度，培养理性精神。
      什么是数学的语言？数学是如何来表达的？数学为人们提供了一个描述与交流现实世界的表达方式，这一点比模型更加上位。学生掌握了数学的语言，他就初步掌握了数学与现实世界的交流方式，能够有意识的用数学表达现实生活中和其他学科中的性质、关系和规律，感悟数据的意义和价值。只有在这样的过程中，学生才能感悟数学语言，包括表达概念，包括等式、不等式的简洁与优美，养成用数学语言来表达和交流，增加跨学科的应用意识和实践。
      核心素养的数学特征是什么？数学的眼光虽然是提供人们观察世界的一种方法，但在本质上是数学的抽象，并且它的数学特征是因为数学抽象而拥有的一般性。数学思维的本质是逻辑推理，即具有传递性的推理，培养的是逻辑思维能力，是具有传递性的思维。例如符合从小到大的标准，即为归纳和类比；从大到小就是演绎，这样的推理是有逻辑的，因此数学具有严谨性。现代社会的学科要走向科学，就要尽可能多的使用数学语言，构建数学模型，使得数学形成一种新特征，即数学应用的广泛性。本次新课标将核心素养、数学的思想、数学的特征进行有机地结合。
      核心素养的阶段性特征有哪些？低学段基于感官，更具体、更侧重意识，这种意识是基于感性的；高学段基于概念，更一般、更侧重观念，观念是概念基础上的认知，借助于思想，借助于能力。因此我们保留了2021版的10个核心词，2021版的6个表现，核心素养的具体表现阐述在高中阶段有抽象，想象，逻辑，推理，计算，跟数学的眼光，思维，语言对应；初中就是更具体的抽象能力，空间的观念，几何直观；小学几乎没有谈抽象这件事情，谈的是符号意识与数感，这次又加了一个词——量感。

      但是老师们一定要知道，这些词语是抽象的一个具体的体现，到初中才更多的谈抽象，小学只要有推理的意思就行，在初中强调一下推理能力，到高中要明明白白的说推理的形式。小学阶段要求的一个能力就是运算，小学拥有模型意识与数据意识就行了，到初中阶段需要形成思想、形成观念，而到高中阶段就开始要求拥有能力。

      落实核心素养，改变课标表述。数学源于对现实世界的抽象，主要研究对象是数量和数量关系，以及图形与图形关系；基于抽象结构，得到了数学的符号运算、形式推理、模型构建等形成数学结论的方法，最主要希望能够帮助人们认识理解和表达现实世界，能够表达本质的关系和规律。因此数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。语言承载了思想与文化，如果数学也是一种语言的话，那么数学也能够承载着思想、承载着文化，因此数学是人类文明的重要组成部分。

      这样认识数学的方法是从伽利略和牛顿那个时代开始，伽利略曾说：“宇宙这本书是用数学语言来形容，如果不懂得数学语言，那么我们只能在黑暗中摸索”；爱因斯坦也评价到：“由于伽利略看到了这一点，尤其是由于他向科学界谆谆不倦地教导这一点，使他成为近代物理学之父，事实上也成为近代科学之父”。因此现代科学的发展，是因为用数学的原理来表达了现实世界的规律。
      1.强调抽象结构

      我们强调抽象，在抽象的基础上强调了抽象结构。抽象结构是近代数学发展的一个很基础的东西，我们不仅要知道研究对象是什么，更要重视研究对象的性质是什么。这个观念最早是亚里士多德提出的，他说：“数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西......线、角或者其他的量（的定义），不是作为存在而是作为关系”，即这个东西存不存在本身不重要，重要是他们之间的关系。

      同样的说法，希尔伯特描述的非常形象：“欧几里得关于点线面的定义在数学上是不重要的，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论把它作为点、线、面，还是把它们称为桌子、椅子、啤酒瓶，最终推理得到的结论都是一样的”。仅就概念教概念的教法是有问题的，教概念的同时，应当教他们的性质、关系和规律，或者其中的一样，因此概念需要螺旋式上升。
      例如集合是现代数学的基本语言，在这个基础上谈顺序，就构建了数的关系。数的本质是大小关系，数是对数量的抽象，数量的本质是多与少，那么数的本质抽象出来就是大与小，因此实数空间是构建函数的基本空间。

      在大学里度量是非常重要的。定义距离空间，定义测度，比如概率论就是主要基于两种策略，一种是技术测度，一种是勒贝格程度，它有和运算的结合。
      对基础教育来说运算也是很重要的，知道研究对象之后一定要知道研究对象的运算。特别是数域跟研究对象，跟运算有直接的关系。要保证运算，主要是保证逆运算的封闭性，这样的话，减法可以使得自然数扩充到整数，除法可以使得整数扩充到有理数。

      基于这样的思想，我们把数与代数的六个主题合并成两个主题，领域没有变，但是主题发生了很大的变化。比如图形与几何的四个主题变成两个主题，把图形的认识和测量放在一起，把数的认识和运算放在一起。
      2.提倡教学与教研的整体性

      我们在这次课标里提倡要整体备课，包括全年级的整体备课、全学段的整体备课、全校老师的整体备课。对应于核心素养的整体性、一致性和阶段性，要体现在日常教学中的整体性、一致性和阶段性。

      日常教学中的整体性是指知识体系和相应的核心素养的整体把握；一致性是从概念的最初提出到最后的实际应用应当是一致的；阶段性是我们需要知道我们研究的数学知识是如何进阶的，以及核心素养是如何进阶的。

      3.增加跨学科内容

      除了学段分成了三个学段，综合与实践也增加了内容，主要增加的是跨学科的内容，强调了传统文化。比如曹冲称象、度量衡圆周率的故事都要讲数学，这是很重要的。数学讲传统文化与其它学科讲传统文化不太一样，比如曹冲称象语文可以讲，但是数学讲的曹冲称象除了认识重量单位之外，还要讲等量的等量相等这个道理，还要讲总量等于分量和的道理。传统文化里蕴含的数学道理，值得老师们仔细探讨。

      4.强调代数推理和几何直观
      这次课标强调代数推理和几何直观，代数推理就是通过归纳类比得到结论，这个想法在小学是不是能够稍微梳理一下，我希望教材编者认真思考。比如我们讲了两位数乘以一位数、两位数乘以两位数或者三位数乘以一位数，那么关于三位数乘以两位数的计算方法，是不是可以让学生自己得到，让学生通过举一反三来归纳算法。
      要进行这样的归纳，教材编写就应该注意，过去的教材编写光写竖式不写横式是不行的，横式是算理，竖式是算法，光讲算法不讲算理是不行的。比如说乘法，竖式算要把数分解，要用到分配律，可以得出算律决定算理，而算理决定算法，这个思想是非常重要的一种事情。
      几何要增加尺规作图，要感悟抽象物体的存在。几何抽象的本质是什么？我想几何抽象的本质就是把三维的物体用二维图形表现出来，即几何的本质是二维和三维之间的关系。因此在小学阶段进行尺规作图是必要的，让学生感悟到抽象物的存在，比如圆的存在；比如同样长的线段，除了能用刻度之外，用圆规也能量出；或者给学生一个线段能做出等边三角形，以及知道什么是周长，这都是很重要的。

      5.关于数学化
      首先关于数学化，课标是这样描述的：要初步体会数的概念一致性和运算一致性。即怎么实现一致性就是怎么实现数学化，这次特别引进一个计数单位的概念。计数单位是一种特殊的计量单位，是个数和顺序的计量单位，把它作为数学化一致性的抓手。数的认识，不管是分数、小数还是整数，都是计数单位的表达。例如4/3个1/3，1/3是计数单位，这样就解决了假分数的问题，不然假分数永远说不清楚。运算也是这样，比较大小应在同样的计数单位下进行，因此分数的加减运算中，通分就是为了得到同样的计数单位。

      6.课程内容的重组
      新课标把方程的内容移到了初中。主要有两个原因，第一是没涉及到方程的本质。过去小学数学把方程认为是只有一位字母表示未知数，其实表示未知数不是问题的本质。字母只是表示了这个方程中的系数，而不是表示未知数，因此用字母来表达性质、关系和规律是非常重要的。过去讲授字母的表示只有半节课，人教版最多的也不到一节课，现在是要求6-8节课，来讲怎么用字母表示数，感悟出字母就是抽象的意义。
      第二是没有感知到方程的必要性。过去领悟简单方程，用5-x=2这样的方程来研究是非常不合适的。现在有一个基本原则，可能是未来教材编写，甚至是教师讲课应该遵循的原则，就是所有的新的概念的引入和新的方法的引入，必须让学生感悟其必要性，不是我教你就得学，而是我教你这个东西是很有用的，所以老师要引导学生产生学习兴趣。因此必须在用四则运算解起来非常困难的情况下，我们才能够引入方程，感悟引入方程是一个非常便利的事情。

      传统定义下含有未知数的等式叫做方程，这个定义是不成立的，因为数学的定义必须是充分必要，例如2-x=x是含有未知数的等式，但它并不是方程，它只是计算的结果与传递性的结果。方程必须讲两个故事或者更多的故事，这两个故事量相等，因此在方程中等号有两个功能，一个是表现传递性，一个是表现量相等。

      本次课标把百分数移到了统计与概率的版块，考虑了大数据的需求。因为百分数在大数据的处理中越来越重要，例如果汁行业确定性的百分数如何过渡到随机性，比如变成投篮的命中率。百分数的引入可以进行随机现象的决策，随机现象的决策比确定性的决策更多地出现在现实生活中，因此在小学阶段孩子们多少感悟一下，对于随机现象怎么来决策。

      比如用百分数制定四年级孩子的跳绳标准，让孩子跳完之后记下来，再从小到大排队，通过的人数为前25%或者50%，再根据百分比确定跳绳标准，这也是国家制定蓝天计划的依据。所以把百分数引到统计与概率是为了更加适应大数据的需求。

随着基础教育课程改革的不断深入，人们越来越关注学生素质的培养。就数学学科而言，更关注学生的数学素养的提高，特别是有关数学核心素养的问题更引起广泛的讨论。如何理解数学核心素养，数学核心素养与数学基本思想、数学思想方法等之间的关系如何，本文试对这些问题谈一谈自己的理解。
一、对数学核心素养的理解
数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力。数学核心素养是数学的教与学过程应当特别关注的基本素养。《义务教育数学课程标准（2021年版）》(以下简称《标准》）明确提出10个核心素养，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。在《〈义务教育数学课程教准（2021年版)〉解读》等一些材料中，曾把这些表述称为核心概念，但严格意义上讲，把这些表述称为"概念"并不合适，它们是思想、方法或者关于数学的整体理解与把握，是学生数学素养的表现。因此，把这10个表述称为数学核心素养是恰当的。数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力。核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。
"数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。"[1]可见，数学素养是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。人们所遇到的问题可能是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养的人可以从数学的角度看待问题，可以用数学的思维方法思考问题，可以用数学的方法解决问题。比如，人们在超市购物时常常发现这样的情境，收银台前排了长长的队等待结账，而只买一两样东西的人也同样和买多样东西的人排队等候。有位数学家看到这种情境马上想到，能否考虑为买东西少的人单独设一个出口，这样可以免去这些人长时间地等候，会大大提高效率。那么问题就出现了，什么叫买东西少，1件、2件、3件或4件，上限是多少？设定不同件数会对收银的整体情况产生什么影响？因此，会想到用统计的方法，收集不同时段买不同件数东西人的数量，用这个数据可以帮助人们作出判断。在这个过程中，至少从两个方面反映面对这样的情境，具有一定的数学素养有助于帮助人们提出问题和解决问题。首先是数感，具有数感的人会有意识地把一些事情与数和数量建立起联系，认识到排队结账这件事中有数学问题，人们买东西的数量(个数）与结账的速度有关系。买很少的东西也同样排很长时间队，一方面会显得交款处排很长的队，另一方面这些只买很少东西的人在心理上会产生焦虑。其次是数据分析观念，解决这个问题时需要数据分析观念，用具体的数据说话会有说服力地解决这个问题。从这个例子中可以了解到，具备数学素养可能有助于人们在具体的情境中发现问题、提出问题和解决问题。而这个情境本身可能并非有明显的数学问题。
《标准》提出的这些数学核心素养一般与一个或几个学习领域内容有密切的关系。某些核心素养与单一的学习领域内容相关。例如，数感、符号意识、运算能力与"数与代数"领域直接相关。在学习数的认识、数的运算、字母表示数等内容时与这些核心素养直接联系。数的认识的学习过程有利于形成学生的数感，数感的建立有助于学生对数的理解和把握。空间观念与"图形与几何"领域密切相关。学习图形的认识和图形的关系等内容应注重学生空间观念的发展。学生探索一个正方体有多少个面，怎样求易拉耀的表面积等内容时都需要空间观念的支撑。数据分析观念与"统计与概率"领域直接相关，数据的收集、整理、呈现和判断的整体过程是形成学生的数据分析观念的过程。
有些核心素养与几个领域都有密切的关系，不直接指向某个单一的领域，包括几何直观、推理能力和模型思想。几何直观在学习图形与几何、数与代数等领域的内容时都会用到。在解决具体数学问题时，可以采用画图的方法帮助理解数与代数问题中的数量关系。推理能力在几个领域的学习中都会用到。推理在几何中经常运用，特别是初中阶段的平面几何的证明。在数与代数中也常常用到推理。在小学数学教学中归纳是常用的思维方式。演绎也会经常用到，最简单的在表述一些运算的算理时，其实用到了演择推理的方法。如在学习"20以内退位减法"时，"看减法，想加法"是用加减之间互为逆运算的方法来算的。而这个过程通常表述为，"因为9+6=15,所以15-9=6"，这里事实上没有把"加减之间互为逆运算"这个大前提表述出来，加上这个大前提就是一个完整的演绎推理的过程。
模型思想同样在"数与代数""图形与几何"以及"统计与概率"中都会用到。如"时、分、秒"可以从建立时间模型的角度理解。方程的学习更是一个建模的过程。数轴和直角坐标系都是刻画空间位置的模型。"最简单的一维几何模型是一条线，如果在线上标出原点、单位、方向，则称这样的线为数轴。”
"实践意识"与"创新意识"具有综合性、整体性，在"综合与实践"领域中有突出的表现，但不局限于这个方面的内容，应当是贯穿整个小学数学教育全过程。
二、数学核心素养的特征
按照上述对数学核心素养的理解，数学核心素养具有综合性、阶段性和持久性的特征。
我们不妨用一个与"几何直观"有关的例子来说明数学核心素养的几个特征。在2021年第十一届全国小学数学观摩课中一节"分数乘法"的教学中，要解决的问题是"每小时织围巾1/5米，1/2小时织多少米？"。教师引导学生用画图的方法解决1/5*1/2=。教师引导学生："如果用一个长方形表示1米长的围巾，我们应该先画什么，再画什么?"学生2人一组画图表示这一数量关系。然后展示学生的不同表示方法。其中有两种典型的方法如下：
两种方法的不同在于第二步，方法1在第二次分的时候仍然是按第一次分的同样方式把一个小长方形平均分成2份；方法2却用画一条小横线的方式来分。两种方法看起来没有差别，但当教师问：为什么得到的结果是1/10的时候，第2种方法就显得比第1种方法更清楚。一个男生说了一句关键性的话"加一个辅助线"，形成下面的情况。
在这个图中可—地看到1/5的1/2是1/10，也就,1/5*1/2=1/10.
借助上面的案例，我们来分析数学核心素养的特征。
首先是综合性。综合性是指数学核心素养是数学基础知识、基本能力、数学思考和数学态度等的综合体现。数学基础知识和基本能力可以看等的综合体现。数学基础知识和基本能力可以看作数学核心素养的外显表现。在上面用几何直观表示分数乘法的过程中，需要运用分数的意义、乘法的意义、乘法运算、用图表示分数等基础知识和基本技能。同时，学生要思考用什么样的方式可以更好地表示出这样一种数量关系。这是一种综合的能力。核心素养总是基于数学的基础知识和基本能力实现的，并且外化于运用基础知识和基本能力解决问题的过程。同时，数学核心素养也促进数学基础知识的深刻理解和数学基本能力的提升。数学思考与数学态度作为数学核心素养的内隐特质。核心素养的形成需要对数学内部和数学外部之间的各种关系进行深入理解和综合运用，在这个过程中，数学的思考能力和思考方式以及数学态度起着重要作用，而这种作用往往不是直接看到的，是内隐于解决问题过程之中的。在上面的例子中，教师已经事先提示学生，用一个长方形表示一个1米长的围巾，并事先准备好长方形纸，让学生来做，以及提示学生先画什么，再画什么。如果教师不用这样的提示，可能学生会作出各种不同的几何直观的表示方式。这会显示出学生不同的思考方式和学习数学过程中的态度。
其次是阶段性。阶段性是指学生的数学核心素养表现为不同层次水平、不同阶段。在上面的例子中，学生用不同的方式表现分数乘法的过程。分一个长方形的方式和顺序不同，表现了学生运用几何直观的不同水平。五年级的学生可以在一个图中表示出两种不同的数量关系，并理解它们之间的联系。而低年级的学生可能达不到这种水平。在一个图中只表达一种数量关系。到了初中，学生可以用更复杂的方式表达数量关系，几何直观的水平会更高。这反映了几何直观的不同阶段。数学核心素养的水平和层次划分，是一个复杂的问题，不同的核心素养也有各自的特点。这将是一个值得深入研究的问题。
最后是持久性。持久性是指数学核心素养的培养不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，还是伴随学生进一步学习，以及将来走向生活和工作的历程。在上面的例子中，运用图表等直观的形式表达复杂数量关系的能力，作为学生的数学素养，可以一直伴随他的学习和生活。学生到中学、大学，乃至走向生活和工作，也会有意识地运用几何直观的方式解决问题，包括数学问题和数学以外的问题。这体现了这一核心素养的持久性。
三、数学核心素养与相关概念的关系
与数学核心素养有着密切关系的还有数学基本思想、数学思想方法等概念。按照上述对数学核心素养的理解，我们可以尝试分析这几个概念之间的关系。
数学基本思想是《标准》提出的"四基"之一，也义务教育阶段学生应当达到的重要目标之一。数学基本思想是数学科学本质特征的反映，是数学科学的基石。史宁中认为，数学基本思想"是数学发展所依赖、所依靠的思想"。[3]数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学，理解和掌握数学所应追求和达成的目标。"数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系"。[3]把抽象、推理和模型作为数学的基本思想与数学具有抽象性、严谨性和广泛的应用性的基本特征是一致的。抽象性就是抽象思想的体现，严谨性来自合乎逻辑的推理，广泛的应用性恰是通过建立数学模型使数学与现实中的问题建立联系，解决更广泛的实际问题。对于数学教育而言，了解数学科学发展所依赖的数学基本思想是必要的，也是最基本的目标。这体现了对数学学科的基本理解与把握，及对数学这门学科基本的思维方式的理解。
数学的思想方法是学习数学，特别是解决数学问题所运用的方法。这些方法一般来讲是具有一定的可操作性，同时反映数学的某些思想，不是一般意义上的具体方法。在数学学习和解决数学问题过程中，人们形成了一些重要的数学思想方法，如转换的思想方法、数形结合的思想方法、等量替换的思想方法、特殊化的方法、穷举的方法等。在小学数学教育中，经常运用这些思想方法解决一类数学问题。如用转换的思想方法学习平行四边形面积公式，将平行四边形转换成长方形，由长方形的面积=长*宽，得知平行四边形的面积=底边*高。用等量替换的方法解方程等。
从述的理解中，可以尝试分析这三个概念之间的关系。数学基本思想是统领整个数学和数学教育的思想，对于研究数学和学习数学的人都有重要指导意义。同样，数学基本思想对数学核心素养也是上位的具有指导性的。或者可以理解数学核心素养是数学基本思想在学习某一个或几个领域内容中的具体表现。数学思想方法则是体现如何从操作层面上实现数学核心素养和体现数学基本思想的方法或能力。