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【知识仓库】能量与功

发布时间: 2021-06-06 08:40:33 来源: 励志妙语 作者: 爱XR的麦子 栏目: 经典文章 点击: 120

动能(KineticEnergy)考虑一个力作用在一个物体上，但是不改变它的质量，于是最后而括号里的部分就被定义成了动能...

【知识仓库】能量与功

动能 (Kinetic Energy)

考虑一个力作用在一个物体上，但是不改变它的质量，于是

F = m frac{dv}{dt} = m frac{dx}{dt} frac{dv}{dx} = mvfrac{dv}{dx}

最后

F = frac{d}{dx}(frac{1}{2}mv^2)

而括号里的部分就被定义成了动能。 K.E. = frac{1}{2} mv^2 ，也可以写成 T

因此可以说力作用在一个物体上能改变一个物体的动能。

做功 (Work Done)

而如果这个力从一个位置点 A 一直作用到另一点 B ，那么

int_{x_A}^{x_B} F dx = int_{KE_A}^{KE_B} dT = KE_B - KE_A = frac{1}{2} mv_B^2 - frac{1}{2}mv_A^2 = Delta T

这时左边的这部分被称作做功。 dW = F(x)dx

换言之

对一个物体做功可以改变其动能，做功的量与改变的动能一样大

而对于3D的情况，做功可以被表示成

dW = vec F cdot dvec x，而要算出总的做功则需要用曲线积分 (Line Integral)

W = int_C vec F cdot dvec x

保守力(Conservative Force)

上述做功与动能之间的关系常用于保守力场 (Conservative Force Field)下。

保守力场：做功大小不取决于移动的路径
点A有两条路径到点B，分别是p和q

数学表达就是int_{vec x_A}^{vec x_B} vec F cdot vec x |_p = int_{vec x_A}^{vec x_B} vec F cdot vec x |_q ，或者 int_{vec x_A}^{vec x_B} vec F cdot vec x |_p + int_{vec x_B}^{vec x_A} vec F cdot vec x |_q = 0

就有了判断保守力场的重要公式（本质上就是上面的那个公式）

oint vec F cdot dvec x = 0

保守力在一个完整的闭环 (loop) 里不做功

势能 (Potential Energy)

当一个力是保守力，一个运动物体从某个坐标系原点 O 移动到某个点 P ，这样做功就是 W(O rightarrow P) ，这个值只取决于点 P 的位置，而不是路径。因此对于空间内任意一点会有一个对应的 W(O rightarrow P) ，而这时可以将做功看成是一个关于位置的标量函数。

这个标量函数就被称作势能，记为 P.E. 或 U 。为了让做功在从高势到低势的过程中为正值，势能就被定义为了 U = -W(O rightarrow P) 。

那么从一点 A 到另一点 B 就做功就是

W(A rightarrow B) = int_{vec x_A}^{vec x_B} vec F cdot dvec x = - Delta U ，

根据我们对势能的定义，上面公式的由来是这样的

W(A rightarrow B) = W(A rightarrow O) + W(O rightarrow B) = int_{vec x_A}^{vec x_0} vec F cdot dvec x + int_{vec x_0}^{vec x_B} vec F cdot dvec x = (- W(O rightarrow A)) - (-W(O rightarrow B)) = U(A) - U(B) = - (U(B) - U(A)) = -Delta U

又因为 W = Delta T ，所以对于保守力而言， Delta T = -Delta U ，

Rightarrow Delta (T+U) = 0 ，也就是说

T + U = const. = E

而 E 是总能量。这就是机械能守恒。

本文标题: 【知识仓库】能量与功
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