《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》是一本由卢昌海著作，清华大学出版社出版的平装图书，本书定价：39，页数：270，特精心从网络上整理的一些读者的读后感，希望对大家能有帮助。

　　《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》精选点评：

　　●标记还是要标记一下的，就是读完了里面的内容，但是公式部分，额……所有的英文字母我都认识，但是组合到一起我就不认识了（留给读者自己证明

　　●虽然是五星推荐，但是这本书从第二章开始的几章是需要一定的数学功底，或者至少是之前有阅读过关于黎曼猜想的书籍才能看懂的，所以建议看这本书之前可以先看看《素数之恋》（Prime obsession）这本书，对基本的推导过程的理解有很大帮助。两本书结合，对于理解黎曼猜想以及对黎曼猜想的探索会很有裨益。

　　●趁着前一段的新闻，把新版也读了一遍。发现对书中的轶闻都有印象，但对那些积分公式是真的一脸懵逼

　　●希望将来的天才能通过证明费马大定理方式证明或者证否，而不要是四色猜想那种证明。

　　●极棒的数学科普书，其中涉及的为数不多的数学证明写得也很详细，对黎曼猜想的解读更是深入浅出，是值得我一直放在办公桌前的书。

　　●非常通俗有趣的数学读本

　　●略略读完，神游天外。

　　●一口气读完

　　●数学对于物理学的推动十分重要，而物理学对人类社会的推动也十分重要。 1）牛顿物理学依靠的是微积分（搞出光学原理）； 2）广义相对论的支撑点是黎氏几何（衍生产品是人造卫星）； 3）目前火热的超弦理论的数学基础是微分几何（群论）； 4）而量子力学（互联网络）发展至今的每一步都是由线性代数和群论工具进行推动的。

　　●见过。

　　《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》读后感(一)：评《黎曼猜想漫谈》

　　我看着我自己，无比羡慕，人类几千年来的科学文化铺陈在我眼前，任我享用；我看着我自己，无限哀伤，人类几千年来的智慧结晶，我看不懂！黎曼猜想，复平面上的解析延拓，对于我来说简直就跟听天书一样！然而，这并不影响我欣赏“天地有大美”，都说造物主是画家，山川秀美，渚清沙白；造物主也是音乐家，风吟鸟唱，琴瑟和鸣；其实，造物主更是科学家，精确梦幻，大道至简！黎曼猜想，庞加莱猜想，爱因斯坦质能公式，麦克斯韦电磁方程，人类这个渺小的物种竟能窥视大自然的奥秘。高斯，黎曼，西格尔，图灵，哈代，莱文森，韦伊一个个陌生的名字如同数学夜空中璀璨的星辰，他们耗尽毕生精力只为能在数学高峰上前进一点，他们的精神让我既钦佩又着迷。不过，更让我着迷的是亘古常在比人类，比恐龙，比三叶虫还要古老的大秘密“有物混成，先天地生！”

　　《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》读后感(二)：数学对物理学的每一次推进都能深刻的改变此后的人类社会甚至生活细节

　　数学对于物理学的推动十分重要，而物理学对人类社会的推动也十分重要。

　　1）牛顿物理学依靠的是微积分（搞出光学原理）；

　　2）广义相对论的支撑点是黎氏几何（衍生产品是人造卫星）；

　　3）目前火热的超弦理论的数学基础是微分几何（群论）；

　　4）而量子力学（互联网络）发展至今的每一步都是由线性代数和群论工具进行推动的。

　　然而，数学一个最主要分支，“数论”，目前还没能作为工具推动任何一个学科发展。

　　而目前发现一个微观领域多粒子系统的能级分布与黎曼猜想在临界线上零点的分布具有关联。

　　数学对物理学的每一次推进都能深刻的改变此后的人类社会甚至生活细节，未来如果数论领域推动了物理学发展，也许人类生活会再一次发生巨变。

　　《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》读后感(三)：读不懂的科普书

　　原以为科普书都是简单易懂的。拿到这本书，发现我只能读懂封面，里外比较多的数学术语及公式，概念。非大众读物，非专业不要入手。0 0

　　。

　　《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》读后感(四)：黎曼猜想与新闻点混沌态拟态分布猜想

　　【数学新闻学跨学科论文】黎曼猜想与新闻点混沌拟态分布猜想

　　作者 火柴人

　　素数（质数）是指一个大于1的，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的自然数。素数由于性格“孤僻”、“不合群”，不能在同一辈份的自然数级别上无穷细分（不能被其他数字整除“细分”）下去，不能被同辈份予以“融合”，所以其相当于数学家族里的性格怪癖、特立独行、拥有极高天赋的基本“元素”，是构建一切数学规律大厦的最原始材料—水泥（因为素数在自然数级别不可细分，不能被侵入和关联，所以性格怪癖而稳定，可以作为一切和数学有关的科学大厦的稳固的地基材料）。如果找到其分布规律，相当于人类掌握了打开整个宇宙理性世界完整大门的最终（最完整）的金钥匙，可以在此基础上打造一个个扎实的理论地基，从而建立完整的彻底明晰的数学规律大厦，进而影响到物理学、化学规律大厦，对其彻底明晰化起到最重要的作用，有助于人类彻底理解宇宙的本质，从而摆脱“无明”状态，趋利避害，改善人类的命运。

　　只是到目前为止，极具天赋，却又性格孤僻的素数的分布规律尚未找到（天才总是行踪不定、真人不露相），这是困扰国际数学界的第一大难题。

　　黎曼猜想是关于素数的分布规律的猜想，在1859年，由德国数学家黎曼在题为《论小于给定数值的素数个数》的论文中提出，其提出了一个函数，认为所有素数的分布规律都体现在这一个函数中，即用函数这个“收妖壶”可以收纳一切素数之“妖”。可是黎曼仍然只是说这个“壶”的存在只是一种可能，其描绘出的函数也是面貌不清。

　　目前，数学家研究出的素数的分布规律是：

　　一，在自然数字值处于无穷大的趋势下，素数分布越来越稀少，可是却始终存在，并且呈现出局部小规律，大部无规律性；

　　二，在数学家视角已经覆盖（研究过）的所有自然数区域内，素数分布依然没有整体规律，许多数学家总结的小规律（框架）只适用于某个极其有限的小素数集合内，放入总体素数集内，则完全失效，无法框定。

　　我在思考黎曼猜想涉及的问题时，推测出国际数学家应该是在寻找一个素数分布规律研究范围所需的最小临界值，当寻找到这个最小临界值素数时，研究由0到这个临界值素数之间的所有素数分布规律，可以概括出一个素数总体分布规律，并且用一个准确的数学公式完整而精准地概括规律，然后将此规律作为框架套取临界值之后的所有素数，都符合此规律。

　　可是，数学家依然没有找到最小临界值，也没有概括出总体规律，所有数学家的研究陷入到研究范围数字无穷大的迷宫中无法自拔了。

　　我觉得，黎曼猜想也许可以解决，也可能完全不能解决。

　　我提出我的猜想，我们整个宇宙是由正—负维度和有常（理性）—无常（感性、灵性）两组相反的性质和合而成的。数学是诞生于正维宇宙的由人类有限视角和理性（因果逻辑）有限手段打造出的一门自然学科（由于其来源体的局限性，因而数学学科天然而永恒的带有局限性）。数学学科作为一种工具，具有工具视角局限性，其局限性导致研究成果也天然而永恒的带有局限性，研究结果只能覆盖正维宇宙和理性宇宙这一侧面，无法覆盖负维度和无常（感性、灵性）宇宙另一侧面。

　　可是万事万物又统一于宇宙本体（总体）下，互相都有或远或近的联系，负维和无常会通过某种方式投射到我们人类视角和思维框架可以观测到的正维宇宙和有常（理性）内，导致我们的研究结果出现谜一样的悖谬。实际上，不是我们的研究结果悖谬，而是我们的视角有限，整个科学视角的悖谬。

　　数学的数字分布规律一定不只和数学有关，不只和正维有关，不只和有常理性有关。从理性因果律视角而言，它一定和数学之外的其他学科（天体物理学、量子物理学等等）有关；从正—负维视角而言，它一定和正维宇宙之外的其他维度宇宙有关；从有常—无常视角而言，它一定和无常（感性、灵性无序世界）有关。

　　要弄清楚素数分布规律，必须要通过数学的近血缘学科（天体物理学、量子物理学等）手段，通过多种手段，叠加视角，扩大思维框架覆盖范围，经过综合研究，才可能概括出局部规律。

　　不过，由于素数类似于理性宇宙的骨架，由于宇宙的无穷性，其骨架也具有无穷性，即使黎曼猜想被证明成功，概括规律的公式被彻底明晰化，我仍然觉得，它也仅仅反映0至临界值素数这一个数据集合体的分布规律，而临界值素数之后直至无穷大的范围，应该会不断出现新的素数，这其中会有素数作为反例，推翻已有的黎曼猜想规律框架。

　　这是一个永恒的无底洞。

　　所以，问题的实质是，素数作为理性宇宙躯体的数学骨架，由于宇宙躯体的无穷性，素数骨架也具有无穷性，人类视角无法囊括无穷，因而未知的素数作为无穷大数据沧海里的一粒沙子，将永远存在，作为反例，推翻即使已经总结出的素数分布规律框架，这是一把永恒的达摩克利斯之剑。

　　我推测素数的分布应该处于混沌无序状态—局部小规律，整体无规律或规律不可知。

　　由此，我将其反映的思想引入到新闻学领域，推测新闻线索的分布规律。

　　记者的新闻敏感性在于受到视角局限性和思维框架局限性的影响下的捕捉新闻点的能力。而此能力也和其总结新闻线索（热点）分布规律的能力有关。

　　新闻场是宇宙场的一个局部，新闻大厦是宇宙大厦的局部。新闻热点则类似于新闻“素数”，其分布规律直接决定新闻场的强弱，决定新闻大厦的高低。

　　记者要提高新闻敏感性，要分析新闻素数的“反例”。新闻具有新闻时效性，新闻“素数”（热点）一般分布于时间轴（维度）的前端，时间轴越往后，其分布越稀少，但是，在时间轴的后端，仍然会存在一个新闻素数作为“反例”，推翻新闻分布规律，这个作为反例的新闻素数往往具有广泛关联性（跨维度性质）。譬如社会新闻的时新价值不大后，要重新挖掘新闻性，记者往往要关联其他维度领域，形成新闻复合性价值。譬如一则人咬狗的新闻，随着时间推移，其时新性价值被挖掘殆尽后，记者可以采取关联法，采访人咬狗中的人一方，关联科学领域，反映人的心理问题和当代人的精神压力源头和机构干预问题（深度报道），或采访狗一方，关联动物心理学或动物保护法领域，反映国内动物生存现状以及人对动物的文明程度（深度报道）。

　　第二，记者要提高新闻敏感性，要分析新闻素数（热点）的分布规律。作为人情社会，民间社会关注人情百态，作为法治社会，国家关注法制建设和执行，作为科学社会，商业关注科技进步。人情为基础，法制为框架，科技为尖端，新闻素数广泛分布于此三个维度，我觉得最好的新闻作品，是在国家法制框架内，通过民间人情故事，反应深层次的科技进步。

　　譬如，一起打架斗殴事件出现后，一般的记者视而不见，新闻敏感性稍强的记者会多问一些详情，写一则好人制止打架，见义勇为的新闻小故事（人情故事维度），新闻敏感性更强的记者，会思考法制框架问题，写一篇新闻评论（涉及人情与司法的平衡、正当防卫的边界、国家见义勇为政策的执行、围观群众的心理学动因等）（法制框架维度），新闻敏感性极强的记者会观察出科技（深层次的因果规律框架）进步问题，写一篇深度报道（手机媒体作为科技力量，对新闻事件的发展起到的作用，人—包括当事人、围观群众和公权力机构在不同历史时代，面对矛盾发生的不同表现和规律）。具有学术能力的记者，甚至最后可以写一篇学术论文，概括出新的新闻传播规律（这是最高和最终阶段）。一名记者发现新闻素数的能力，和其关联维度、突破视角、思维框架的能力有密切关系。

　　不过，由于新闻场属于宇宙场的一部分，新闻素数（热点）处于小规律、大无常（无序）的混沌分布状态，新闻素数（热点）随时会出现在任何领域。如果一名记者即使新闻敏感性还在进步中，但是非常勤奋，勤于思考，仍然可以捕捉到经常会无序闪现在自己视野内的新闻热点，就会写出一篇非常优秀的新闻作品。

　　以上就是我对黎曼猜想的思考以及对新闻“素数”（热点）拟态分布的猜想。

　　写于2019年9月26日黎明，值江汉大雨，楚天天凉，新闻“素数”，雨缝闪亮。

　　《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》读后感(五)：黎曼说：我有个猜想。

7个悬赏100万美元的千禧年难题

　　从千禧年开始悬赏100万美元的黎曼猜想最近又火了一次。这100万美元，被数学家们戏称为，当今世上最难赚到的100万美元。

　　现年89岁的英国数学泰斗Atiyah爵士，是菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主、英国皇家学会前主席。

　　他在9月24日的海德堡国际数学与计算机科学获奖者论坛上做了报告，声明他已经破解了黎曼猜想，但结果仍待诸位大牛苦苦验证，可能至少需要几个月的时间才能见分晓。

英国数学家Atiyah爵士在海德堡的论坛上发言

　　1 “四大数学猜想”

　　黎曼猜想是1900年希尔伯特提出震古烁今二十三个数学问题中的第八个。可是黎曼猜想到底是什么，能把黎曼猜想说清楚的人不多。

　　因为相比初中生至少能看懂题目的“三大猜想”，黎曼猜想的命题本身就不是一般人能看懂的，所以想普及也很难。

　　然而从重要性的角度上来讲，黎曼猜想绝对可以并称为四大数学猜想，甚至是扛把子的。囧才才做了一张图，可以一眼看清楚“四大数学猜想”的关系的现状。

“四大数学猜想”（简称F4）的关系的现状四色猜想：由美国数学家Appel与Haken借助计算机完成，遂称四色定理。 费马猜想：1995年由英国数学家Wiles证明，现在叫费马大定理。 哥德巴赫猜想：中国数学家陈景润的“陈式定理”（俗称“1+2”），距离其最终证明“1+1”还差“最后一步”。 黎曼猜想：Atiyah爵士正在小黑屋鏖战中，胜负难料。

　　趁Atiyah和黎曼鏖战之际，咱们简单地回顾一下黎曼猜想到底是个什么鬼。

黎曼猜想：不服来证

　　2 必须从ζ函数开始

　　首先，来看看ζ(zeta)函数的定义和形式：

ζ函数（zeta 函数）

　　显然，这是一个无穷级数。例如，当s=2的时候，这个无穷级数的和，是π^2/6，是大数学家欧拉算出来，其实这个函数形式最早也是欧拉提出来的。

无穷级数 ζ(2) = π^2/6

　　如果你继续代入s=3，s=4，就会发现，这个无穷级数和越来越快地趋近于1。为啥？因为分母的次方数越大，收敛的速度就更快嘛！

　　只要s是正整数，或者是>1的实数，我们理解起来都没问题，因为这个级数收敛的，总能算出一个极限值来。

　　甚至当s=0.5，相当分母开平方：ζ(0.5) = 1/1 + 1/1.414 + 1/1.732 + …。虽然求和并不收敛，但每一项也是递减的，也比较容易理解。

　　但假如s<0呢？你可能听说过，有一个奇怪的说法，叫做全体自然数的和是-1/12，如下图所示。这到底是怎么回事呢？稍后揭晓谜底。

全体自然数的和居然等于-1/12？

　　3 冲出实数，走向复数

　　黎曼作为复分析的鼻祖，他不满足于是在实数范围内使用ζ函数，他想把ζ函数扩展到复数域！

　　假如把ζ(s)的s，从实数域扩展到复数域，会发生什么事呢？

　　比如s=2+i，好像没见过一个数的2+i次方啊！

　　没关系，复数嘛，无非就是拆成实部和虚部，成为一个有模和方向的向量。

　　的2+i次方，可以分成“n的2次方”和“n的i次方”两部分。

　　比如说1/2的2+i次方，就可以拆成实部和虚部，实部负责定长短（1/2×1/2=1/4），虚部负责转角度，其实就是得到一个向量。

　　图中的红点就是1/2的2+i次方所在的位置。因为e^bi = cosb + isinb，所以(1/2)^i就等于e^(ln0.5)i = cos ln0.5 + isin ln0.5 ≈ 0.77 - 0.64i。

　　然后再乘以1/4，就是结果。

复指数函数的实部和虚部分别计算的示例

　　只要能理解复数次方，更神奇的事情就来了。

　　对于ζ函数这个级数来说，相当于由一段段具有相同角度的向量首尾无限拼接出来，像一个植物触角的生长过程。

　　有没有想起鹦鹉螺？

鹦鹉螺和鹦鹉螺旋线

　　没明白？没关系，举个例子，当s=1.5-i时，ζ(1.5-i)的结果如下图所示：

ζ函数的可视化求解过程

　　要注意的是，ζ函数只有当s>1的时候才收敛，也就是这个触角会无限接近于某一点。

使ζ函数收敛需满足s>1

　　4 大数据一定要可视化

　　如果我们将s=1这条直线右半边的每一个s点都挪到对应的触角点，即ζ(s)，我们就可以得到ζ函数的坐标转换。【预警！！！前方烧脑】

黎曼ζ函数在s>1段的坐标变换过程图

　　变换前横平竖直的线，几乎全都被黑洞般的(1,0i)点吸了进去，然后吐出了一圈一圈波浪形纹路的圈圈。

　　这严丝合缝的变换过程，体现了数学在治愈强迫症方面的强大功效。But Wait……像黎曼这种数学大师的强迫症，远非你我可以揣测的。

　　他觉得变换后的图，好像是被人在s=1/2处砍了一刀，是不完整的。我们如果盯着s = ±i 这两条黄线看，变换后的形状是两段不完整的波浪形圆弧，如下图。

ζ函数的不完整性示意

　　5 数学红娘：解析延拓

　　是不是感觉心里空落（laò）落（laò）的？难道你不想把它补全成一个完整的花生壳吗？难道你不觉得它一定还有一个失散多年的另一半吗？

　　深度强迫症的黎曼实在看不下去，于是就做了一把数学界的月老，帮ζ函数找到了一个他认为完美的另一半。（请注意，以1/2为界的左右两边并不对称）

黎曼ζ函数：复数域解析拓延后的ζ函数

　　这种给单身函数介绍对象的过程就叫做延拓。注意，不是拖延症的拖延。

　　然鹅，介绍一个完美的对象并不是那么容易，稍不留神，就会碰见下图这种歪瓜裂枣的，而且这种歪瓜裂枣有无限种之多。

一种非解析延拓后的ζ函数示意

　　黎曼给单身函数介绍对象的方法是有唯一解的，用这个方法一定可以找到命中注定的那个唯一的另一半。真的有这么神奇？

　　黎曼的延拓方法叫做解析拓延，而且只有一个要求：拓延后的复变函数处处可导。按照这唯一的一条要求，就可以给单身的函数找到唯一完美对象。

　　如果说复数域求导不好理解的话，还有一种几何直觉的理解方法，几乎和处处可导是等价的，也称为解析拓延的保角性。那就是：

　　对于任意一对相交的直线a和b来说，之间的夹角∠ab在拓延前后仍然保持不变。

　　只有对交点导数原来为0的点例外，这些夹角在拖延之后的夹角乘整数倍。

　　这其实是一个非常强的约束条件，因为我们都能体会到，要满足“任意”二字需要多么任性才能做得到啊！

　　不信我们可以检查一下，相互垂直的实轴和虚轴们全都是垂直的，解析拓延后它们还是相互垂直的，如下图。

　　6 零点在哪里呀零点在哪里？

　　全体自然数之和等于-1/12的梗，其实也就是说，(-1,0)这个点，在ζ函数进行解析延拓的变换之后，会落在-1/12这个点上。

　　当然了，-1/12这句话本身除了学术装13之外，并没有太大意义。但是，如果我们把黎曼ζ函数像平时解一元二次方程那样对待时，会发现问题将变得非常难。

　　要解黎曼ζ方程，就意味着找到所有的s值，使得当s=？时，ζ(s)=0。

　　如果用可视化的方法表达，那就是：哪些点经过变换之后会落在原点上。

黎曼ζ函数零点的解们（ζ(s)=0）在哪里？

　　黎曼ζ函数ζ(s)=0的解有无穷多个，但大致可以分为两类。

　　一种比较有规律，全是负偶数。所以数学家一脸鄙视地给这些零点随手起了一个名字，叫平凡零点（trival zero）。

黎曼ζ函数的平凡零点

　　第二类比较棘手，很难找出什么规律。黎曼之前的数学家认为，这些解应该都落在实部0到1这一条解析延拓的临界带上。而黎曼认为这对数学来说太不精确了，太naïve了。

黎曼ζ函数全部非平凡零点所处的位置

　　他在一篇只有8页的论文里，轻描淡写地提出了一个小小的猜想：解析延拓后的黎曼ζ函数ζ(s)的非平凡零点，全部落在s=1/2这条直线上。

　　这就是伟大的黎曼猜想。

　　但说起来简单，做起来难。非平凡零点杂乱无章，其计算本身也非常难。黎曼本人也只算出来过个把而已。

1/2临界线穿越原点的轨迹图

　　一直到二战后，人工智能之父图灵利用自己发明的计算机，才计算出了1104个非平凡零点。

　　图灵所处的年代，数学界对黎曼猜想的态度是悲观，思路是证伪，即只要找到一个非平凡零点不在1/2直线上即可。

　　随着计算机技术的进步，2004年8月，已经算到了八千五百亿。然鹅，算得再多，对猜想的证明并没有太大用处。但至少现在很少有人想要证伪黎曼猜想了。

　　7 跟素数是怎么搞上的？

　　看到这里，可能有人很失望：“我XX的XX都X了，你就给我看这个？”

　　大侠请留步，最厉害的要来了！

　　只要能全找到黎曼ζ函数的非平凡零点，你就能找到所有素数！

　　ut 可能你就想弱弱的问一句：那么复杂的一个复变解析函数，到底是怎么跟素数分布扯上关系的？

　　答：通过欧拉乘积公式！欧拉乘积公式神奇地用全体自然数约束住了全体素数，抓住了素数分布这只神龙的尾巴。

　　这个公式的证明一页ppt就可以写得下，类似于数学归纳法的套路，是我们能力所及的。

乘积公式的证明过程

　　其实ζ函数在黎曼之前，叫做欧拉ζ函数。所以，ζ有分别用自然数和素数两种等效的表达方式：

ζ函数的两种等效表达：自然数vs素数

　　这下看清楚了吧。黎曼当年就认识到这个黎曼ζ函数和素数分布之间的关系。

　　你说得对，如果说黎曼是数学界的月老，那么欧拉就是数学界的王婆，把西门庆（ζ函数）和潘金莲（素数）撺掇到了一起。

　　黎曼那篇给全世界数学家套上紧箍咒的8页论文，题目就叫《论小于给定数的素数个数》。

　　只要有小于给定数的素数个数公式，就能知道某给定数本身是不是素数，这个函数一般写为π(x)。例如，π(20)代表小于20的素数个数，π(20)=8。

　　如果我们把π(x)函数画出来，是一个阶梯函数，什么时候π(x+Δx)-π(x)=1，上了一个台阶，那么这个x就是素数。

　　高斯和勒让德分别发现，素数在n处的分布密度近似符合自然对数的倒数，即ρ(n)≈1/ln(x)。

　　也就是说，在10000附近，素数大概会每隔ln(10000)=9.2个数字就出现一个。到1000000的时候，每隔ln(1000000)=13.8个数字才会出现一个。

小于给定数的素数个数

　　8 怎么又跟物理搞上了？

　　后来，数学家蒙哥马利在普林斯顿一次偶然的下午茶会上，偶遇了物理学家戴森，他们聊天时发现：

　　黎曼ζ函数在临界线上的非平凡零点的统计分布，居然可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。

　　从此，黎曼猜想又对应上了量子力学体系的能级谱，数学和物理来了一次重大联姻，这也是Atiyah爵士在2019年9月24日给出论证的主要思路。

　　至于Atiyah爵士到底说了些什么，我就把不长，只有5页的原文贴在最后，你自己看吧。我只是一个业余爱好者，该洗洗睡了。

　　文中大部分截图素材来自一个非常厉害的视频，感谢作者3Blue1Brown的辛勤付出，腾讯视频链接如下：

　　看到这的读者

　　都是真的猛士

　　二郎给你点赞