这一系列（大概永远不会完工）的文章是关于这世界上一半的函数的。对于学代数的来说，这世界上有一类函数，它们快乐无忧地生活在 里。这一类函数又分成两半，一半是对称函数，一半是非对称函数。

这篇文章则是告诉你，非对称函数的世界。文章将由两部分组成，一部分是我随口逼逼一些我对这个话题的理解，另一部分是我实际的笔记（知乎的latex支持让我毫无兴趣和时间把全部的笔记内容转化为中文）（and nope...就当我以为知乎对内容产出支持无法变得更差的时候，其总是可以超越我的想象。因为知乎没法直接插入pdf，我把pdf转化成图片试图上传，但是每次插入40张图片的时候，其总是能成功把我的图片顺序打乱，导致其无法阅读...我放弃...这一点也不值得...）

所以这篇文章只会有一部分了，I guess。

序言

对于学代数的来说，连续或者解析函数实在太过复杂了，所以她们一般都会管中窥豹地把视线集中在多项式环里。幸运的是，就算只是多项式环 （其中R是一个很好的环，我们一般取有理数或者整数），我们也有一些很复杂的东西可以进行学习和探究。而整个数学历史里，一个十分重要的研究对象，自然是各种不变量。

在非对称函数/对称函数的宇宙里，我们主要研究多项式环R[x1,...,xn]在置换群Sn的群作用下的不变量，也就是那些不被Sn群作用影响的多项式。

我们有三种群作用可以考虑，分别是（我们考虑生成元 如何作用在多项式上)：

置换坐标，也就是 往右推动坐标，或者说， 只能作用在其中一个指数是0，另一个不是的情况下。也就是说， 当且仅当a，b中一个是0，另一个不是0。其他情况下 什么都不做。 对于所有i，我们都有

第一个作用的不变量环中元素被称之为对称函数，第二个作用的不变量环中元素被称之为拟对称函数（quasisymmetric functions），而第三个作用的不变量环（就是 本身）中元素则被称之为非对称函数。

古典对称函数理论主要把精力都放在了第一个作用的不变量环上，并且发展出了十分美丽的理论。而我猜更令人惊奇的应该是，大部分我们可以对对称函数做的事情，都有非对称函数中的对应，并且可以用几何的语言来描述（准确来说，我们将会考虑格拉斯曼流形的上同调，K-理论，椭圆上同调，和配边理论（最后两个东西在组合学里没人理解到底是什么鬼））。

目标

这一门课的主要目的应该是发展出一套组合理论，来描述非对称函数。而在对称函数中，我们有一大堆的线性基，这在非对称函数中也一样。其次，我们希望能够拥有一些组合法则，来描述这些线性基相互之间的乘积系数。

比如说，在对称函数中有十分著名的Littlewoord-Richardson法则，描述了对称函数空间中一组正交规范基之间乘积是如何展开的，其定理如下：

上面， 组成对称函数的一个基，名为Schur对称函数。值得一提的是，Schur对称函数完整的刻画了置换群的不可约群表示。

上述规则可以拓展到K-理论上。准确来说，是我们可以定义叫做 -Grothendieck对称函数的对象，而这一族新的对称函数也拥有类似于上面Littlewood-Richardson的乘积法则（i.e. Pechenik-Yong定理）。

从对称函数到拟对称函数，我们得到一大堆新的线性基，其中值得注意的是基本拟对称多项式（fundamental quasisymmetric polynomials），这些多项式完整刻画了0-Hecke代数的不可约表示；以及拟对称Schur多项式，这些多项式是Schur多项式的拟对称推广。在表示论里，拟对称Schur多项式所对应的是一些0-Hecke代数的Frobenius特征标。

这些拟对称多项式也有K-理论的推广。

非对称多项式

我们指出对称多项式是有n的整数拆分来进行下标的，拟对称多项式是由强composition来进行下标的（所以对称多项式的维度就是n的整数拆分数量，拟对称多项式的维度是强composition的数量）。而非对称多项式则是由弱composition或者置换来进行下标的。准确来说，每一个置换都有其对应的Lehmer code，然后我们将用这个来进行下标。

而我们第一个有趣的非对称多项式的基将会是Schubert多项式。它们有不同的定义方法，我们列出其中一个。

定义均差算子 ，这里si的作用是第一个作用。然后我们定义：

通过研究置换的简约字（reduced word），我们可以证明上述定义是良好定义的。

同样的，这些Schubert多项式也有K-理论推广，和双变量推广（增加一组变量y）。而这些Schubert多项式和Schubert微积分是密不可分的。

Schubert微积分

我感觉Schubert微积分本质上就是Grassmannian的intersection theory。准确来说，我们可以定义一个代数簇，旗簇（(complete) flag variety)，其中每一个点都是一个n-维线性空间的标记（flag）。然后我们可以通过一个到 的双射来将一些几何结构附加到旗簇上（这里B就是一个Borel subgroup，i.e. maximal connected solvable subgroup）

然后呢，我们有 ，分别是上三角Borel 和下三角Borel，通过这两个子群作用在旗簇中被一个环簇作用的不变点时，我们就得到了被称之为Schubert cell的几何对象。通过取闭包，我们得到了Schubert簇。这些Schubert簇有一个胞腔分解，可以分解成Schubert cell。而我们如果对我们的旗簇取cellular cohomology的话（这个上同调环同构于 ，by Borel），每一个Schubert簇则都会对应一个Schubert类，而这些Schubert类在cellular上同调里的乘积，则一一对应Schubert多项式的乘积。准确来说，我们有

咕咕咕

大概永远不会更新的内容如下：

Schubert多项式的分解（Billey-Jockusch-Stanley）

fundamental slide/glide polynomial

pipe dream formulation (Knutson-Miller)

and so on...

p.s. 感觉我这个属于废话大师，听得懂的人会感觉毫无深度，听不懂的人大概就是听不懂，but anyway...我是感觉从这门课学到挺多的...能够把我笔记放上来肯定对感兴趣的人来说更好，但是知乎并不是一个分享知识的平台，所以我也无可奈何了。