本章掌握归纳、类比的含义及其推理形式、掌握归纳猜想、类比猜想方法及猜想能力的培养、熟练掌握反例在教学中的应用。
1．归纳
归纳是指在通过各种手段(观察、实验分析、比较等)对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。
归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。
完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。
在数学中运用完全归纳法往往会遇到困难，这不仅是因为在我们所考察的事物中，有些含有无限多个对象而又不能进行有限的分类，从而不能使用完全归纳法，所以人们往往只能根据部分对象具有某种属性来作出概括。这种根据考察一类事物的部分对象具有某一属性，从而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法。
从数学发展史可以清楚地看到，无论是一个新的数学分支的产生，还是具体给出一个概念的定义，都经历过一个积累经验材料的时期，从大量观察、实验得来的材料发现其规律，总结出数学定理或原理，这是数学工作中最初步的，然而又是基本的工作。高斯说过他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们提供研究方向。
2．类比
类比是根据两个事物具有某些相同或相似的属性，其中一个事物还具有另一属性，从而推出另一个事物也可能具有这一相同或相似的属性。可见，类比是用以进行推理的一种思维方法，用这样的思维方法进行推理通常就叫类比推理，有时简称类比或类推。
类比是理性思维的一种本能，它使人预感到经验所发现的某种事物具有某种特性，可以推论到同类的别的事物也具有同样的特性。因此，类比是一种从已知到未知，探求和发现新知识的富有成效的思维方法。正如贝弗里奇说的“独创性常常在于发现了原来认为没有关系的两个或两个以上的研究对象的联系或相似之点。”不难找出科学上许多重要学说、重大发现和创造发明或是由类比推理提出的，或是由类比思维提供了线索。比如近代科技中应用广泛的“仿生学”就是建立在类比推理所揭示的原理基础上的一门新兴科学。可见，在小学数学教学中，有意识地培养以至强化小学生的类比思维能力，使他们体验到发现和创新的快乐，对于发展他们的智能，激发他们学习数学的兴趣无疑是很有意义的。
3．猜想
数学猜想，是指依据某些已知事实和数学知识，对未知的量及其关系所作出的一种似真的推断。它具有一定的科学性，又有某种假定性。它的真伪性，一般说来，是难以一时解决的。它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学发展的一种重要的思维形式。从每一个数学成果都由“潜”到“显”的过程来看，数学猜想同数学问题、数学悖论一样，是一种数学潜形态。研究与阐述数学猜想的类型、特征以及提出与解决的主要思想方法，对把握数学的本质及其发展规律，具有重要的意义。

挖独木舟、制作瓦罐、开导星期五、自封总督
鲁滨逊[1]是个英国人,1632年出生在英国约克市。他喜欢航海和冒险，到过世界上的很多地方，碰到过许多危险，但他一点儿也不畏惧，希望走遍天涯海角。但他的父母并不赞成，可年轻的鲁滨逊还是登上了船。
1659年，鲁滨孙乘船前往南美洲，途中遇上大风大浪，船上的桅杆吹断了，船也翻了，同伴们都死在海里，只有他一个人被大浪卷到了这个无名的、没有人居住的荒岛，到处是乱石野草.他又冷又饿，流落到这种地方，怎么活下去呢？
第二天，太阳出来了，海面上也平静下来。等到潮水退了，鲁滨逊看到那翻了的船，有一半浮在海面上，离岸并不远。他就找了一些木头做成木筏，划到船边。在船舱里，鲁滨逊找到很多可以用、可以吃的东西，陆陆续续的搬到岸上，还带回没有淹死的一条狗、两只猫，这使他在凄凉中感到一丝安慰。更有趣的是他在破船里拾到许多钱，但钱在孤岛上又有什么用呢？
现在首先需要一个容身的地方，以避日晒雨淋。鲁滨逊走遍荒岛，在山坡上选择了一块有水源、有树阴、又可以防野兽的地方，用木头和船帆搭起一座简陋的帐篷。那儿可以看到海面，他希望瞧见过往的船只，以便请求救援。
鲁滨逊在岛上定居下来，过着寂寞的生活。他没有更高的要求，但是破船上搬下来的食物很快吃光了，要想活下去，就得想办法。
他每天拿着枪，带着狗到森林里去打猎，或到海边去捕鱼，并且把捕到的山羊畜养起来。后来他竟有了成群的山羊，可以常喝羊奶，吃羊肉。搬来的东西里，有一些麦子，他把它们撒到围墙里，不久长出了嫩芽，后来结出了十几个穗子。他用这点儿麦种反复种收，到了第四年，终于吃到了自己种的粮食。
十六年过去了。有一天，鲁滨逊忽然发现海边沙滩上有人的脚印，刚开始他很乐观地想那是自己留下的脚印，到后来他才发现他根本没有到过这里，他恐惧万分。猜想这一定是附近陆地上的野人留下来的。他担心这些野人会来吃掉他，于是在住所前的空地上插下杨柳桩子，又将羊群分成几个地方圈养。他在这种不安的心情下又生活了两年。后来，鲁滨孙再一次看到野人留下的生火的痕迹和满地的人骨，这使他联想到他们野蛮的宴会。鲁滨孙在恐惧之中开始考虑怎样对付这可能出现的野人。他在荒岛上生活了二十八年之后，终于看到三十多个野人乘着小木船上岸了。他们拖出两个倒霉的同伴，杀了其中一个人，另一个则挣扎着逃跑。他逃的方向正是鲁滨孙住所的方向。鲁滨孙决心救下这个逃跑的人，于是他开枪打死了追赶的两个野人。鲁滨孙给他救下的野人取名为“星期五”，因为这一天就是星期五。他开始教导“星期五”。“星期五”很快成为他的好帮手、忠心的仆人和知心的朋友，并渐渐学会了说话。他们愉快地生活在岛上，扩大了粮食种植面积，又增加了几个羊圈，晒了更多的葡萄干。他差不多淡忘了要回到英国、回到文明社会去，甚至要忘了自己原来是生活在现代社会的。
有一天清晨，鲁滨逊被“星期五”喊醒，原来有一艘英国船只在附近停泊着。他发现这艘船上发生了叛乱，水手们绑架了船长。鲁滨逊和“星期五”救出了船长，船长愉快地答应带他们回英国去。鲁滨逊乘这艘船在海上航行半年后，终于回到了英国。
丹尼尔·笛福（Daniel Defoe 1660—1731），英国作家，新闻记者，小册子作者。英国荒岛文学的代表作家，是英国启蒙时期现实主义小说的奠基人，被誉为“英国和欧洲小说之父”。
《鲁滨孙漂流记》主要讲述的是个人通过努力，靠自己的智慧和勇敢战胜困难。情节曲折，采用自述方式，可读性较强,表现了当时追求冒险，倡导个人奋斗的社会风气。其代表作《鲁滨孙漂流记》闻名于世，他是靠这部作品在世界文坛中脱颖而出，鲁滨逊也成为与困难抗争的典型模范，因此他被视作英国小说的开创者之一。
生于英国伦敦，名丹尼尔，本姓福（foe）。笛福后来在自己的姓前面加上听起来如同贵族“de”的前缀，形成笛福——defoe这一笔名。笛福的父亲詹姆斯·福从事屠宰业，双亲都是长老会教徒，并不不信仰英国国教，笛福自己也在长老会的学校里接受中等教育，但没有上过大学。
笛福是英国文学史上第一个重要的小说家。他一生充满传奇色彩，他出身小商人家庭，在为不信国教者设立的学院中学习。他没有遵从父愿当牧师，而是当了内衣经销商，也经营烟酒和羊毛批发，他因商务到过西班牙、法国、荷兰、意大利。在商务成功的同时，他对政治也很感兴趣。1685年，他参加了试图将蒙茅茨公爵推上王位的活动。1688年，他加入了威廉三世的军队。3年后，他经商破产，数年内六度涉讼。但不久他又东山再起，经营砖瓦生意，并涉足政治。他的小册子《略谈各种计划》（1698年），提出社会生活各部门的改革意见，诸如倡导养老金、所得税、保险和救济、设立妇女学院等，在小册子里赞成辉格党的重商政治。他的政治讽刺诗《土生英国人》（1701年）反驳对威廉王是外国人的非议，攻击英国[2]氏族世系，大获成功，使他成为政府商业等事务的非正式顾问。
二十多岁时，笛福已是伦敦一个体面的商人，经营过内衣、烟酒业等等，到过欧洲大陆。1692年经商破产，不得不以其他方式谋生。他给政府当过情报员，设计过开发事业。他还从事写作，早年以写政论文和讽刺诗著称，反对封建专制，主张发展资本主义工商业。1698年他发表了《论开发》，建议修筑公路，开办银行，征收所得税，举办水火保险，设立疯人院，创办女学等。笛福不信仰英国国教，这使得他在政治上拥护信仰新教的威廉三世。1702年他在政论文《消灭不同教派的捷径》中用反语讽刺政府的宗教歧视政策，猛烈抨击托利党当局迫害不同教派，由于文笔巧妙，开始未被识破，发觉后被捕入狱6个月，并受枷刑示众游行三天。笛福则在狱中针锋相对写了诗歌《枷刑颂》，讽刺法律的不公。围观的伦敦市民把他奉为英雄。向他投来的不是石块而是鲜花，并且为他的健康干杯。辉格党首领罗伯特·哈利非常欣赏笛福的才华，在他干涉下，笛福获得了释放。哈利希望笛福办杂志以争取民众对自己的苏格兰-英格兰联合政策的支持。笛福在哈利支持下于1704年创办《法国时事评论》。1708年哈利失势，笛福继续支持其继任者戈多尔芬，直到1713年杂志中断。
相关资料也有另外一种说法，笛福在二十岁左右开始经商，但屡遭失败，在生意上并非很体面。1719年笛福发表了他的第一部小说《鲁滨孙漂流记》（以前译为《鲁滨逊漂流记》），大受读者欢迎。接着出版了《鲁滨孙漂流续记》。1720年他又写了《鲁滨孙的沉思集》。
鲁滨孙漂流记图书图片(20张)
此后他还相继发表了《辛格尔顿船长》（1720）、《摩尔·费兰德斯》（1722）、《杰克上校》（1722）和《罗克萨娜》（1724）等长篇小说以及《彼得大帝》（1723）等传记。
1719年3月笛福根据水手亚历山大·塞尔柯克的一部分经历和自己构思，完成了自己最著名的作品《鲁滨孙·克鲁索》（Robinson Crusoe），中文翻译为《鲁滨孙漂流记》。小说讲述一个在海难中逃生的水手在一个荒岛上通过自己智慧与勇气，战胜险恶的自然环境，终于获救回到英国的故事。小说大受欢迎，一年之内竟然出了四版。至今仍在被世界各地人阅读。其作品主要为个人通过努力，靠自己的智慧和勇敢战胜困难。情节曲折，采用自述方式，可读性强。并表现了当时追求冒险，倡导他个人奋斗的社会风气。笛福的其他主要小说作品有1720年完成的《辛格尔顿船长》和1722年的《摩尔·弗兰德斯[3]》。笛福还写了大量小册子与新闻报道，1722年法国马赛发生瘟疫，笛福出版以1665年伦敦大瘟疫为内容的《大疫年纪事》，迎合了当时市民的关注，颇受欢迎。