楼主的老师，出这样的题目，一定是要学生，趋炎附势、恶心奉承。
然后再说上一大串假大空的政治谎言，跟欺世惑众的豪言壮语。一
万个教师，至少九千九百九十九个半都是这样的伪君子货色！也量
身定制，克隆出一批满口政治胡言乱语、有头无脑的少年政治骗子。
下面给楼主提供几点真实而又悲凉的感悟：
1、我们的祖先，不落人后，与西方先哲几乎并驾齐驱。
我们祖先有极限思想，但是我们当成了诡辩学而彻底否决！今时今日，
我们的教师们，依然把它当成是荒谬的、唯心的、形而上学的，给予
批判，我们的教师从来就没有过一天的理智跟理性。
2、从极限开始，我们就原地踏步、止步不前。迄今为止，依然如故。
极其庞大的微积分理论，没有我们的一丝功劳，以及由此而建立起来的
千千万万的数学理论、科学理论、工程理论、经济理论、、、、、、、
万万千千的定律、定理、方程、法则、等式、不等式、、、、、，没有
一个定量理论，是我们建立的！当今世界，依然层出不穷的新理论，依
然、居然、竟然、仍然，没有一个是我们建立的。我们依旧始终如一地
认为我们是最勤劳、最伟大、最悠久；我们依然躺在老祖宗的功劳薄上，
闭起眼睛在高唱老祖宗的四大发明，而无视当下每时每刻的重大发明与
我们绝缘、、、、、
3、即使只谈微积分，我们依然会说它的主要建立者是牛顿，而无视莱布尼兹
是第一个发表微积分理论的人。因为牛顿当年社会地位显赫，是社会名流。
用现在的话来说，莱布尼兹只是民科，而牛顿才是象牙塔里的精英，才是
真正的科学家。我们求导时，总是随随便便一瞥就是求导，如 y‘，可是这
个方法不是牛顿发明的，是拉格朗日发明的；到了微分方程是不得不写成
dy/dx，这也不是牛顿发明的，而是莱布尼兹发明的；到了算子算法时，导
数变成了Dy形式，这依然还不是牛顿发明的，而是欧拉发明的。导数有导
数的中值定理、积分有积分的中值定理，都不是牛顿的、、、、、我们的
教师们，依然会闭起眼睛、吊着嗓门、青筋突暴地胡扯这些都是牛顿当年
建立的。因为牛顿代表的是正宗、正统、王道、待遇、体系、身份、皇粮
、职称、、、、
4、微积分已经建立的几百年，可是我们那些靠学生父母的血汗钱喂得肥头呆脑
的教师、教授们，依然在最最基本的概念上没完没了、胡搅蛮缠。随便翻开
一本大学微积分教科书，无厘头的硬拗、胡扯、歪解、、、比比皆是、怵目
惊心、、、、。

第一个人写了好多教材，都是公认比较好的，我再补充一本哈代的《纯数学教程》好了，从你提供的背景来看，《纯数学》将会是很好的引导入门书（有英文影印版，机工社的）。这本书参透了，就有基础了。程度比较好的话再加本Apostol的《数学分析》，我认为比Rudin的有趣，还不那么难。还要补充的是，中外的写作风格还是有差异的。中国课本中比较好的可以看中科大龚升教授的《简明微积分》，此书受到过吴文俊的高度好评。
至于牛顿的《原理》这个问题，我认为现在很多人都有误区：以为看科学著作一定要看牛顿，或看数学书一定要看牛顿等等。其实如果是为了研究科学史的话，《原理》是很重要的。但是，《原理》的内容已经被后来的大师们发挥的淋漓尽致了。也就是说，牛顿的研究方法已经被改进了，牛顿的符号已经现代化了，牛顿的研究成果已经可以让大学高年级本科生作为分析学或经典力学的练习做出来了。
至于里面的几何说明，那是牛顿写作《原理》时，对于微积分的代数形式已经掌握得很好了，但仍然翻译成几何形式，这是为了不在当时受到严密性的批评。在分析学很好地掌握的情况下，才有能力理解牛顿的体系
其中还有只有看过数学史的人才明白的细节更不是一个高中学生可以读的。
最后一个小建议是：既然有心朝数学发展，就不要说自己不是为了做题目。没有看书看出来的数学家，问题才是数学的灵魂。刚入门的孩子更需要练习题来熟悉分析学这个领域。
回答补充：数学分析mathematical analysis也叫做分析学analysis...基本内容就是微积分，但是有一些问题的观点更高一些，某些内容更现代；正规的数学分析课程编排上与微积分或高等数学是不一样的：有关纯粹理论（比如Lesbegue积分和实数理论，具体看教材编纂者的意图）会多一些……高等数学名下的课程内容是微积分加一些解析几何…总之微积分是最基础的…既然雄心勃勃，你最好对这些名词早点熟悉起来……微积分课本内容彼此差异不大，托马斯微积分内容多一点，不代表深度上有什么独到的地方，只是一般的微积分课本

中国科技大学- 龚升- 微积分五讲（92页）
《微积分五讲》从现代数学的观点以及矛盾的观点来重新审视与认识微积分。用通俗的语言讲述了微积分从哪里来、微积分的三个发展阶段、微积分严格化后走向哪里、微积分的主要矛盾，尤其用外微分形式的观点来说清楚高维空间上微积分的主要矛盾，用矛盾的观点来梳理微积分中的定理与公式等，使读者从高一个层次上来认识微积分。 编辑推荐《微积分五讲》适合理工科专业的大学生、研究生、教师以及数学爱好者使用。 全书92页，尤其适合不愿翻大部头的同学使用。
如果想系统学习，那就是南开张筑生的数学分析新讲，绝对详细；堪比当年菲赫金格尔茨的微积分教程。

在介绍梯度，旋度，与散度这些东西之前，我们首先引入一个东西：nabla算符

（也叫做向量微分算子），其中

。

这个东西到底有什么用呢，继续向下看，你就会明白我把这个东西放在最前面的用意。梯度：在介绍梯度之前，就不得不说方向向量的事情。首先假设我们都是纸片人，在爬一座纸片山

显然我们向上爬的时候，每一处地方，山的陡峭程度是不同的。我们直观的感受就是爬山的时候费不费力。在二维中，这个陡峭程度我们把它叫做导数，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。

回到现实，我们开始爬这座三维的山，不同于二维之中，我们只能上下爬山，在三维之中，当我们站在一个点的时候，我们可以向四周随意行动（注意安全）。这也就意味着在这一点有着无数的方向，这么多方向，我们如何才能把他们表示出来呢？这时我们有了一个好办法，就像在一个坐标系中的向量可以用x，y轴上的单位向量表示一样，我们可以建立空间直角坐标系，把山放进坐标系之中，假设山坡可以表示为

，和之前的思想类似，我们同样可以把不同方向的斜率用x，y方向上的变化表示。而y方向的斜率可以对y偏微分得到.，x方向的斜率可以对x偏微分得到。这里我们直接给出这个结论：

设

。我们可以把之前这个式子写成两个向量点积的形式，

，

一点处的方向导数有很多，但是如果我们要找一个最大，那么

。

这时候当A和I重合时，方向导数最大，也就意味着这时，在这一点，山是最陡峭的。这时我们把A命名为梯度，记作

，

这样，我们就知道了梯度的意义，从字面来看，这两个字还是比较符合它的实际意义的。下次你再爬山的时候，也许你可以建立山的函数，求出自己所在位置的梯度，从而规划一条最短的路哦。

通量与散度：之前，我们用房顶为曲面的房子讲了进入房子里面的雨水的量，也就是

，现在我们可以给这个东西取一个名字了，数学家们一拍脑袋，有了这个东西我们就把它叫做通量。显然，通量描述的是进入房子的整体的水的量，而整体是部分的加和。就像之前我们用过的长方体气球，从水龙头中进来的水等于从气球周围流出的水，这样我们便得到了高斯公式：

现在，用闭区域的体积V除上式两端，得

左端表示单位时间内单位体积产生的水的平均值，显然在这个气球里边一定会有一个点单位时间内单位体积产生的水等于这个平均值，我们让这个点取为M（x，y，z），那么左边的式子可以表示为：

我们把这个区域不断地接近M点，也就是对上边的式子取极限得到：

我们把上式左端叫做场v在M点的通量密度或散度，记作

即

设V=（P,Q,R）,把散度写成向量点乘的形式，

显然我们又一次看到了

这个东西。

散度的几何意义：

散度散度，从名字上来看这个，这个量是用来描述“散开的程度”，但是根据我们之前的分析，散度这个量表示的是无穷小曲面处的通量。散度的大小直接与在这一个小曲面是否有通量有关。想像一个朝四面八方喷水的水水龙头。在这个水龙头上套一个橡皮圈。

显然，橡皮圈会被水撑大，这一点散度就不为0，如果我们把这个橡皮圈拿出这个中心，就好像我们划船一样，这个橡皮圈会被水流冲走，这样这个点的散度就为0了，所以说散度并不是描述“散开的程度”的一个量。

旋度：环流量、旋度与通量、散度是比较类似的。我们把单位时间内绕着一条曲线的量叫做环流量。和之前散度的定义类似，我们都是从宏观到微观，逐渐的把这个曲线缩小，缩小到围绕着一个点附近很小的区域里的平均环流量，这样我们就得出了在一个点的旋度：

，之前的散度可以写成

的形式，而我们的旋度又和散度十分相似，而与点乘十分相似的是什么呢？没错就是叉乘，我们可以把

这个形式写成叉乘的形式

总结：

一个矢量一般来说有3种“乘法”：

1、 矢量 A 和一个标量a相乘：a A

2、 矢量 A 和一个矢量 B 进行点乘： A·B

3、 矢量 A 和一个矢量 B 进行叉乘

同样，算子也有三种运算

1、 ▽算子作用在一个标量函数 z 上：▽z，这个表示的是z的 梯度

2、 ▽算子跟一个矢量函数E点乘： ▽·E 。表示E的 散度

3、 3、▽算子跟一个矢量函数E叉乘： ▽×E 。表示E的 旋度

了解了这些之后，你就可以去看被誉为史上最美方程的的麦克斯韦方程组了。

还有一件事

对于格林公式，高斯公式，stokes公式，如果学习了外微分的话，这些公式其实表示的是一个东西

在这里，我仅抛砖引玉，想要学习的可以阅读龚升老师的《微积分五讲》

假设满足

，这两条规则的微分乘积称为微分的外乘积，由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式，称为外微分形式

为一次外微分形式

为二次外微分形式

为三次外微分形式

（A,B,C,D,P,Q,R,H）都是x，y，z的函数

对于任意两个外微分形式

也可以定义外微分

则

外微分的外乘积满足分配律和结合律，如果

是任意的三个外积分形式，则

对于外微分形式

，可以定义外微分算子

对于零次外微分形式，就是普通的全微分算子

对于一次外微分形式，

，定义

，即对P,Q,R进行外微分（全微分），然后进行外乘积，

对于二次外微分形式：

同样，定义

,代入dA,dB,dC利用外乘积的性质得到

对于三次外积分形式

格林公式：

记，

，

是一次外微分形式，

于是

对两边同时积分，得到格林公式

Stokes公式：

，看作是一次外微分形式，于是

，对两边同时积分得到stokes公式。

对于高斯公式

将

看作二次外微分形式，

,积分得到高斯公式

先看零次外微分形式

，外微分形式为

，而f的梯度为

,梯度与零次型的外微分相对应

同理，旋度与一次型外微分相对应，散度与二次型外微分相对应

牛顿-莱布尼兹法则建立了直线段与边界的关系

格林公式建立了平面区域与其边界的关系

Stokes公式建立了空间曲面与其边界的关系

高斯公式建立了空间中区域与其边界的关系

这四个公式其实说的都是一个内容，都是建立了围成区域与边界之间的关系

参考书目：

工科数学分析基础 下册-马知恩等主编-高等教育出版社-1998

《微积分五讲》龚升

最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）长尾科技

高中数学是大学数学的基础。 大学数学主要会有这么几门课程，微积分，线性代数，概率与统计，有的专业还会学复变函数。 其中，高中所学的大部分知识都会在微积分中用到。线性代数相对自成体系一点。 而微积分又是概率和复变函数的基础。
我可以给你推荐几本不错的教材： 龚升《简明微积分》，《微积分五讲》，机械工业出版社的《线性代数及其应用》，我自己也写了一份线代的讲义，你想要可以发给你。 机械工业出版社的《复分析基础及工程应用》。 其中，《微积分五讲》名字虽然弱爆了，但它的确是一本神作